【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 因?yàn)? 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2y x y O A O C A C? ? ? ? ? ? ? ???22 2( 1 ) 1 2x y B D BD? ?固所給結(jié)論成立。 上述問(wèn)題的變式很多，作者曾做到過(guò)很多類(lèi)似的問(wèn)題，如某市中考模擬卷中有如下一個(gè)問(wèn)題： 變式 1：在 ABC? 中， ,AB BC AC 三邊的長(zhǎng)為 10 5 1 、 ，求這個(gè)三角形的 積？ 解析：用高中數(shù)學(xué)知識(shí)解答是能夠完成 ，通過(guò)聯(lián)立 2 2 2 2 c o sc a b ab c? ? ? ， 1 sin2S ab c? 兩個(gè)公式即可解決，但是計(jì)算起來(lái)相對(duì)復(fù)雜，況且是初中數(shù)學(xué)問(wèn)題。 三角形是一個(gè)一般三角形，三邊無(wú)規(guī)律性， 所以解決這類(lèi)問(wèn)題 ，可以通過(guò)增補(bǔ)的方法使之呈現(xiàn)規(guī)則的形式。增補(bǔ)方式如 圖 5 所示 ， 圖 5 在日常解題過(guò)程中要注意對(duì)問(wèn)題的歸納， 再 遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí) ，尤其是自己無(wú)從下手的問(wèn)題，需要我們聯(lián)想到一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題，最終將它轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的圖 4 CEDF OA B常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 問(wèn)題。其次要考慮它們的圖像意義，能夠?qū)⒊橄蟮膯?wèn)題直觀化。上述兩個(gè)例題主要分析了絕對(duì)值和根號(hào)問(wèn)題解答過(guò)程中所應(yīng)聯(lián)想到的方法。構(gòu)造圖像解數(shù)學(xué)問(wèn)題是中學(xué)中每一位學(xué)生都必須掌握的，利用好圖像工具不僅僅有利于問(wèn)題的解決，更能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 用構(gòu)造法求解數(shù)列問(wèn)題 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)列與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何的關(guān)系十分密切。數(shù)列中的遞推思想，函數(shù)思想，分類(lèi)討論思想以 及數(shù)列求和，求通項(xiàng)等各種方法和技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有十分重要的地位。解決數(shù)列問(wèn)題，往往不可忽視構(gòu)造法的應(yīng)用，這也是數(shù)列的難點(diǎn)所在，很多數(shù)列問(wèn)題題目較短，所給的文字信息有限，學(xué)生在做題時(shí)不容易找到突破口。其實(shí)，解題的方向就在題目中所給的關(guān)系式，只需通過(guò)合適的關(guān)系變換就容易解決。如數(shù)列求通項(xiàng) 例 5：已知數(shù)列 {}na 滿(mǎn)足 114, 3 2nna a a ?? ? ?， 求數(shù)列通項(xiàng) na 解析：題目中只給出了 1na? ， na 的關(guān)系，沒(méi)有其他條件，解題的難點(diǎn)就在于如何轉(zhuǎn)化關(guān)系式。表面上看既不符合等差關(guān)系也不符合等比關(guān)系，但是如果將關(guān)系式 132nnaa???構(gòu)造成關(guān)系式 3( )nna d a d? ? ?。 就能直觀的看出通項(xiàng) {}nad? 是等比數(shù)列，只需求出 d 即可。完整過(guò)程如下： 例 5：已知數(shù)列 {}na 滿(mǎn)足 114, 3 2nna a a ?? ? ?， 求數(shù)列通項(xiàng) na 解 : 132nnaa??? 構(gòu)造如下關(guān)系式： 13( )nna d a d? ? ?； 可 得 ： =1d11 31nnaa?? ??即 ： 11 4 , 1 3 { 1 } 3 3na a a? ? ? ? ?， 是 首 項(xiàng) 為 ， 公 比 為 的 等 比 數(shù) 列 即： 13nna ?? 結(jié)論： 當(dāng)題目中出現(xiàn)如關(guān)系式 11, ( , ,nna A a B a c A B C?? ? ? 均 為 常 數(shù) ， 1B?， 0)C? 時(shí) ， na可 用 構(gòu) 造 等 比 數(shù) 列 的 方 法 求 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 ： 1 ()nna m B a m? ? ? ? ( ) , { }11nCCmaBB????其 中 從 而 得 出 B是 以 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列。 常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 上述數(shù)列的函數(shù)表達(dá)式是 (,nna pa q p q? ? ?其 中 是 常 數(shù) ， 且 1,0 ），通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列形式能夠容易解出來(lái)。但是遇到 ( ) ( 0 , 1nna pa f n p? ? ?其 中 是 常 數(shù) ， 且 ）形式時(shí)， 又該如何做呢？ 如： 例 6：已知數(shù)列 {}na 滿(mǎn)足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 。 解析：這里與上 一 題明顯的區(qū)別是后面的常數(shù)轉(zhuǎn)換 成了關(guān)于 n 的一次函數(shù)。用上述的構(gòu)造方法做是行不通的 。如何使這種形式向這方面來(lái)轉(zhuǎn)換，我們發(fā)現(xiàn) na 與1na? 的系數(shù)為 2 倍關(guān)系，能否將上述 11 212nna a n?? ? ?轉(zhuǎn)換成 112nnb b m???形式。 例 6：已知數(shù)列 {}na 滿(mǎn)足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 解： 1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ? ? 114 2 12nna n a n?? ? ? ? 即： 114 [ ( 4 ( 1 ) ] 32nna n a n?? ? ? ? ? 現(xiàn)令： 4nna n b?? 可得： 11 32nnbb??? 同上所得： 13 462n nan?? ? ? 結(jié)論：當(dāng)諸如 遇到以上數(shù)列形式時(shí)，即： 1nna pa qn b?? ? ?。類(lèi)比 1nna pa q???，通過(guò)下述方法進(jìn)行構(gòu)造：1nna pa qn b?? ? ? 1[ ( 1 ) ]1 1 1nnq q aa n p a n bp p p?? ? ? ? ? ?? ? ?， 再 令1nnqa n bp???，從而實(shí)現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換。 構(gòu)造法在數(shù)列解題 中的應(yīng)用非常廣泛，不論在求通項(xiàng)方面還是在求和方面都有涉及。構(gòu)造法在解題過(guò)程中充當(dāng)著中介的作用，使一些看似復(fù)雜，不符合常規(guī)方式的數(shù)列經(jīng)過(guò)中介作用變成簡(jiǎn)單的等差或者等比數(shù)列。還有許許多多的構(gòu)造方法在此就不在一一論述，如：構(gòu)造圖形法解數(shù)列題：等差數(shù)列數(shù)列 {}na ，其中，1820, 15aa? ? ? ，問(wèn)在哪項(xiàng)時(shí) nS 最大。（提示，等差數(shù)列的圖像相當(dāng)于一次函數(shù)的常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 圖像） ； 構(gòu)造倒數(shù)式：數(shù)列 {}na 中， nS 是前 n 項(xiàng)和，且 nS 0? ， 1 1a? ， 已知 22 ( 2)2 1nn nSanS??， 求 nS 與 na 。（提示：構(gòu)造等式 1n n na S S ??? ， 與提干中的條件22 ( 2)2 1nn nSanS??聯(lián)立起來(lái)，可得： 112n n n nS S S S???? ，兩邊同除 1nnSS? ，即可得出1{}nS是以 2 為公差的等差數(shù)列）等。 。 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其考察方式主要與代數(shù)，幾何知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，它是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考察雙基的重要內(nèi)容。應(yīng)用三角函數(shù)方法解題技巧靈活，方式多樣，同學(xué)不容 易掌握。尤其是以下幾種情況： ○ 1 常值代換，特別是“ 1”的代換，如： 221 sin cosxx?? ○ 2 特殊替代，尤其是含有“ ” 的情況，如 21 x? ， 需要用 sinx 代替題目中的 x 。 ○ 3 萬(wàn)能代換，利用所學(xué)的萬(wàn)能公 式。 在做三角函數(shù)題時(shí)，需要學(xué)生熟練掌握和，差，倍，半角的三角公式，利用銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，正弦定理，余弦定理等常用解題工具，能夠認(rèn)真分析和歸納題目要求，把握其中的方法和技巧，能通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，構(gòu)造出相對(duì)簡(jiǎn)單和熟悉的三角結(jié)構(gòu)出來(lái)，從而解決問(wèn)題。下面通過(guò)幾個(gè)用構(gòu)造三角函數(shù)法解數(shù)學(xué)問(wèn)題的案例來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用。 一 ：常值構(gòu)造法。 例 7：已知 ? ?1sin c o s , 0 , ,5? ? ? ?? ? ?求 cot? 的值。 解： 由 條件 ? ?1sin c o s , 0 , ,5? ? ? ?? ? ? 可得： ? ?2 1s in c o s 25????， 展開(kāi)可得： 22 1sin 2 sin c o s c o s 25? ? ? ?? ? ? 因?yàn)?： 22sin cos 1????， 代換得： 常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 12sin cos 25???? 同理： 22sin co s 1 2=sin co s 2 5??? ， 分子分母同除以 ： sin cos?? ， 可得： 1 1 2ta n co t 2 5????? ， 因?yàn)椋?? ?0,??? ，所以最終可得： 3cot 4??? 例 8：求函數(shù) s i n c o s s i n c o sy x x x x? ? ?的最大值和 最小值。 解：構(gòu)造模型： s in c o s 2 s in ( )4x x x ?? ? ?t? ? ?22t? ? ? 兩邊同平方： 22sin cosxx? 2sin cosxx? =2t 常值構(gòu)造： 22sin cos 1xx?? 則： ? ?2 1sin cos 2txx ?? 可