數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文-中學數(shù)學中的數(shù)形結合思想(編輯修改稿)
2025-09-29 12:40 本頁面
【文章內容簡介】 度等。 數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。 數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和 解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。 數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù) 學題目江西師范大學 12 屆學士學位畢業(yè)論文 2 中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。 縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果 。 3 數(shù)形結合思想在中學數(shù)學中的應用 1 利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題 一般 情況我們 用圓來表示集合，兩 個 圓相交則表示兩 個 集合有公共 的 元素，兩 個圓相離就 表示兩個集合沒有公共 的 元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關集合之間的關系的問題 。 例 1．某校先后舉行數(shù)理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數(shù)學 807 人，物理 739 人，化學 437 人；至少參加兩科的：數(shù)理 593 人，數(shù)化 371 人，理化267 人；三科都參加的 213 人，試計算參加競賽總人數(shù)。（選自《王后雄高考標準詮釋》） 解 ：我們用圓 A、 B、 C 分別表示參加數(shù)理化 競賽的 人數(shù) ，那么 三 個 圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用 n 表示集合的元素，則有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A n B n C n A B n A C n B C n A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 0 7 7 3 9 4 3 7 5 9 3 3 7 1 2 6 7 2 1 3 9 6 5? ? ? ? ? ? ? 即：參加競 賽總人數(shù)為 965 人 . 2 利用數(shù)軸解決集合的有關運算 例 2． 已知集合 ? ?13A x x? ? ? ?, ? ?3B x a x a? ? ? ⑴若 AB? ，求 a 的范圍 。 ⑵若 BA? ，求 a 的范圍 。 B(理 ) A（數(shù)） C(化 ) 江西師范大學 12 屆學士學位畢業(yè)論文 3 分析：先在數(shù)軸上表示 出集合 A 的范圍，要使 AB? ，由包含于的關系可知集合 B 應該覆蓋集合 A，從而有 ： ??? ??? 33 1aa，這時 a 的值不可能存在．要使 BA? ， 當 0a? 時集合 A 應該覆蓋集合 B，應有?????????0331aaa 成立 ，即 01a??。 當 0a? 時， B?? ，顯然 BA? 成立 。 故 BA? 時的取值范圍為 ： 1a? 在集合問題中，有一些常用的方法如韋恩圖法，數(shù)軸法取交并集，在例題一中通過畫韋恩圖 表示出各集合， 可以直觀形象的表現(xiàn)出各部分數(shù)量間的關系 ，本題主要強化學生數(shù)形結合能力，解此類題目的技巧與 方法是畫出圖形，形象的表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系，從而求解。在解例題二這一類題目時要先化簡集合，確定各集合之間的包含關系，進一步在數(shù)軸上表示出來，通過數(shù)軸簡便求解。 解 方程 中的應用 在很多情況下我們對于一些比較復雜的方程不能使用常規(guī)的方法去解，也不能使用求根公式，以至于無法求解，那么我們采用數(shù)形結合思想，將方程的跟轉化為求函數(shù)的交點，通過作圖可以很好的解答出來。 例 3． 設方程 2 11xk? ? ? ，試討論 k 取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況 。 解 ：我們可把這個問題轉化為確定函數(shù) 21211y x y k? ? ? ?與圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù) 1yk??始終 表示平行于 軸的所有直線 （無論 k 取何值） ， 函數(shù) 21 1yx??可以先轉換成 從 函數(shù) 21 1yx??，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象性質畫出21 1yx??圖像 ，進一步畫出 21 1yx??的圖象，從而 可以直觀看出： a 1 3 3a a 1 3 3a 江西師范大學 12 屆學士學位畢業(yè)論文 4 （ 1） 當 1k?? 時，12yy與沒有交點，這時原方程無解 ； （ 2） 當 1k?? 時，12yy與有兩個交點，原方程有兩個不同的解 ，分別是11xx?? ?與 ； （ 3） 當 10k? ? ? 時，12yy與有四個不同交點，原方程不同解的個數(shù)有四個； （ 4） 當 0k? 時，12yy與有三個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個； （ 5） 當 0k? 時，12yy與有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個 。 通過圖像我們可以清楚的看出 k在什么范圍內兩個函數(shù)它們交點的個數(shù)，從而大大的簡化了我們做題，提高了做題的效率。 在方程意義下去研究二次方程且?guī)в凶帜复鷶?shù)的，往往非常棘手，但如果先把它轉化成二次函數(shù)， 并畫出二次函數(shù)圖象，在運用圖象的性質去研究，問題就迎刃而解了，本題就是很好的佐證，將二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象相結合，再根據(jù) k 的范圍就能很快得出交點個數(shù)， 即方程解的個數(shù)。所以在今后解類似題目時可以將復雜的代數(shù)轉化成函數(shù)，再畫出圖像。 解 不等式中的應用 解不等式 ,就是要對不等式進行同解變形 ,使之變?yōu)榕c原不等式同解的最簡不等式 .不等式靈活變換的特點和廣泛應用的價值對培養(yǎng)學生能力，發(fā)展學生思維提出了教高的教學要求 .結合圖形研究 ,可以避免復雜的討論 ,化繁為簡 . 例 4 解不等式
研究報告相關推薦
鄂ICP備17016276號-1