高三數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想(編輯修改稿)
2024-12-15 08:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( 1 , 2 2 ) ． ∴ k ＝2 2 ＋ 21 ＋ 2＝ 2 . 2 題型三 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用 例 3 已知 P 是直線 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 上的動(dòng)點(diǎn)， PA 、 PB 是圓 x2＋ y2－ 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的兩條切線， A 、 B 是切點(diǎn)， C 是圓心，求四邊形 P AC B 面積的最小值． 思維啟迪 在同一坐標(biāo)系中畫出直線與圓． 作出圓的切線 PA 、 PB ，則四邊形 P AC B 的 面 積 S 四邊形 P A C B ＝ S △ P A C ＋ S △ P B C ＝ 2 S △ P A C . 把 S 四邊形 P A C B 轉(zhuǎn)化為 2 倍的 S △ P A C 可以有以下多 條數(shù)形結(jié)合的思路． 畫出對(duì)應(yīng)圖形 → 利用數(shù)形結(jié)合明確所求 → 求解得結(jié)果 解 方法一 從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 沿直線3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 向左上方或向右下 方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形 P A C 的面積 SRt △ P A C＝12| PA | | AC |＝12| PA |越來越大，從而 S 四邊形P A C B也越來越大；當(dāng)點(diǎn) P 從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)， S 四邊形P A C B變小，顯然，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即 CP 垂直直線時(shí)， S 四邊形P A C B應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí) | PC |＝|3 1 ＋ 4 1 ＋ 8|32＋ 42＝ 3 ， 從而 | PA |＝ | PC |2－ | AC |2＝ 2 2 . ∴ ( S 四邊形P A C B)mi n＝ 2 12 | PA | | AC |＝ 2 2 . 這是運(yùn)動(dòng)變化的思想幫助我們打開了解題的思路． 方法二 利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ( x ， y ) ，則 | PC |＝ ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2，由勾股定理及 | AC |＝ 1 ，得 | PA |＝ | PC |2－ | AC |2＝ ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2－ 1 ，從而 S 四邊形P A C B＝ 2 S △P A C＝ 212| PA | | AC |＝ | PA |＝ ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2－ 1 ， 從而欲求 S 四邊形P A C B的最小值， 只需求 | PA |的最小值，只需求| PC |2＝ ( x － 1)2＋ ( y － 1)2的最小值，即定點(diǎn) C ( 1,1) 與直線上動(dòng)點(diǎn)P ( x ， y ) 距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn) C ( 1,1) 到直線 3 x ＋4 y ＋ 8 ＝ 0 的距離的平方，這個(gè)最小值 d2＝ (|3 1 ＋ 4 1 ＋ 8|32＋ 42)2＝ 9 ， ∴ ( S 四邊形P A CB)m i n＝ 9 － 1 ＝ 2 2 . 方法三 利用函數(shù)思想，將方法二中 S 四邊形 P A C B ＝( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2－ 1 中的 y 由 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 中解出，代入化為關(guān)于 x 的一元函數(shù)，進(jìn)而用配方法求最值，也可得 ( S 四邊形 P A C B ) m in ＝ 2 2 . 探究提高 本題的解答運(yùn)用了多種數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)變化的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及配方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)問題快速得以解決． 變式訓(xùn)練 3 已知點(diǎn) P 在拋物線 y2＝ 4 x 上，那么點(diǎn) P到點(diǎn) Q (2 ，－ 1) 的距離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( ) A ． (14，－ 1) B ． (14， 1) C ． ( 1 , 2 ) D ． (1 ，－ 2) 解析 定點(diǎn) Q (2 ，－ 1) 在拋物線內(nèi)部， 由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn) P 到拋物線 焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問 題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn) P 到點(diǎn) Q 和到拋物線的 準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)， 顯然點(diǎn) P 是直線 y ＝－ 1 和拋物線 y2＝ 4 x 的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是 (14，－ 1) ． A 規(guī) 律 方 法 總 結(jié) 1 ． 利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象． 2 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法 與技巧，特別在解選擇題、填空題時(shí)更方便， 可以提高解題速度． 3 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想常用模型： 一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式 ( 或向量的模、復(fù)數(shù)的模 ) ，點(diǎn)到直線的距離公式等 . 知能提升演練 一、選擇題 1 ．設(shè)全集 I 是實(shí)數(shù)集 R . M ＝ { x | x24 } 與 N ＝ { x |2x － 1≥ 1} 都是 I 的子集 ( 如圖所示 ) ，則陰影部分所表示的集合 為 ( ) A ． { x | x 2 } B ． { x |－ 2 ≤ x 1 } C ． { x | 1 x ≤ 2 } D ． { x |－ 2 ≤ x
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