【文章內(nèi)容簡介】 .... 10 5 結(jié)束語 ............................................................ 11 參考文獻(xiàn) ............................................................ 11 致謝 ................................................................ 12 ***大學(xué)本科畢業(yè)論文 ４ 前言 在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本 數(shù)學(xué)思想。中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等等。中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實到學(xué)生學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)的思維活動上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的課程。 一直以來數(shù)與形就是兩個不可分割的對象，他們在一定程度上可以相互轉(zhuǎn)換，我國著名數(shù)學(xué)家 華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，即數(shù)形結(jié)合在一起好 處很多，而獨立分開卻會帶來很多麻煩，從這可以看出數(shù)與形的基本性質(zhì)，數(shù)與形是不可分割的，數(shù)形結(jié)合在實際問題中是緊密結(jié)合在一起的。而數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。例如函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系。 在數(shù)學(xué)問題中若能“以數(shù)示形，以形思數(shù)，數(shù)形滲透”，則能加強知識的橫縱聯(lián)系 （ 1） 。 對中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識，增強解題能力，特別是在一些題目中如選這題、填空題，在小題目中經(jīng)?？疾鞌?shù)形結(jié)合思想，如果熟練掌握了數(shù)形結(jié)合思想并加以巧妙利用，那么我們將取得事半功倍的效果，能幫助 我們在高考中能取得時間和效率的優(yōu)勢，最終讓你取得優(yōu)異成績。那么接下來我們將要研究數(shù)形結(jié)合思想在我們中學(xué)中到底有哪些用處，我們解什么樣問題時需要用到數(shù)形結(jié)合思想？ 1 數(shù)形結(jié)合思想方法概述 數(shù)形結(jié)合思想的研究背景 數(shù)學(xué)以現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式作為研究的對象，而數(shù)和形是相互聯(lián)系，也是可以相互轉(zhuǎn)化的。 早在數(shù)學(xué)萌芽時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數(shù)和形式聯(lián)系起來了 （ 8） 。我國宋元時期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問題代數(shù)畫化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間 的代數(shù)關(guān)系。 “數(shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于 1964 年 1月撰寫的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》的科普小冊子中?！皵?shù)形結(jié)合”的應(yīng)用大致又可以分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形過于簡單，直觀觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長 .角度等等。“以形助數(shù)”是指***大學(xué)本科畢業(yè)論文 ５ 把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計算，獲得出奇制勝的解法。 數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用 數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義。首先，“數(shù)形結(jié)合” 能更好幫助學(xué)生對所學(xué)知識的掌握與記憶。例如：在研究函數(shù)時，可以利用函數(shù)圖形來記憶有關(guān)函數(shù)的知識點，像函數(shù)的定義域 .值域 .單調(diào)性 .奇偶性 .周期性 .有界性以及凹凸性等。 其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力。第三，數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。 “數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡言之就是：見到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對啟發(fā)思路，理解題意， 分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。在中學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則。 2 數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位 從新課程標(biāo)準(zhǔn)對思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合 數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹立現(xiàn)代思維意識：第一通過數(shù)與形的有機結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機地結(jié)合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進(jìn)這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。第二通過數(shù)形結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生 從多角度、多層次出發(fā)地思考問題，養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。第三通過數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方 式為動態(tài)思維方式，也就是以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題，更好地把握事情的本質(zhì)。 由此可見，新課程把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想，要求教師能充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，挖掘它的教學(xué)功能和解題功能。 從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點來看數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)基本知識與數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)內(nèi)容的兩個不可分割的有機組成部份。數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想和手段，它是人們探索數(shù)學(xué)真理，求解數(shù)學(xué)問題的過程中逐步積累起來的，并蘊含于各個數(shù)學(xué)分支的公理、定理、公式、法則和解決問題的過程中，是人類寶貴的精神財富。數(shù) 學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識蘊含數(shù)學(xué)思想和方法，兩者的聯(lián)系是辯證的統(tǒng)一。這就決定了在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)不能代替數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，課堂教學(xué)的目的，應(yīng)在于運用數(shù)學(xué)思想方法去揭示數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師在課堂教學(xué)中，既要重視數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更要突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，通過數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，使我們的學(xué)生畢業(yè)之后，“不論做什么業(yè)務(wù)工作，***大學(xué)本科畢業(yè)論文 ６ 唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)思想方法和著眼點，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受用?！?（ 2） 然而在課堂教學(xué)中教師過于呆板地強調(diào)著邏輯思維能力。在教 學(xué)中忽視對直觀圖形的利用，不能很好地利用具體形象來化解對書本中一些抽象的結(jié)論的理解。忽視學(xué)生形象思維的培養(yǎng)。學(xué)生對于現(xiàn)在這種過于陳舊的課堂教學(xué)模式不能產(chǎn)生“親和感”，感到枯燥，厭惡。事實上教材中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)容很多，可以通過數(shù)形結(jié)合給代數(shù)提供幾何模型，形象直觀地揭示問題的本質(zhì)，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。利用數(shù)形結(jié)合有利于進(jìn)行初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過渡銜接。初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較具體，模仿性的練習(xí)較多，而高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容抽象性較強，強對數(shù)學(xué)概念的理解基礎(chǔ)上的運用，對思維能力、運算能力、 空間想象能力，數(shù)學(xué)語言的運用要求較高。因此學(xué)生對于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要有一個適應(yīng)過程。教師更要幫助學(xué)生渡過這個關(guān)口。從高一數(shù)學(xué)內(nèi)容來看，通過數(shù)形結(jié)合，從具體到抽象恰好符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 從高考題設(shè)計背景來看數(shù)形結(jié)合 隨著數(shù)學(xué)教育改革不斷深入，高考命題朝著多樣性和多變性發(fā)展，增加了應(yīng)用題，開放題，情景題，強調(diào)檢測學(xué)生的創(chuàng)造能力。重在考查對知識理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在考查知識的綜合應(yīng)用，著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查。高考試題這種以能力立意的積極導(dǎo)向，決定了我們在教學(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識 、方法的運用，整體把握各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系。而數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。利用數(shù)形結(jié)合設(shè)題，一方面考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的符號語言，數(shù)學(xué)的圖形語言的理解能力，語言的互補、互譯、互化能力，即在數(shù)學(xué)本質(zhì)上的有欲轉(zhuǎn)化能力，另一方面考查學(xué)生的構(gòu)圖能力，以及對圖形的想象能力，綜合應(yīng)用知識的能力；考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力最能展示學(xué)生能否進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思維”。因此數(shù)形結(jié)合在每年的高考中都是一道亮麗的風(fēng)景線，如果能從圖形特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，又能從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征，并準(zhǔn)確構(gòu)圖那么很快就能得出正確答案。 3 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的途徑和原則 ．?dāng)?shù)形結(jié)合的途徑 （ 1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解 借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分；值得強調(diào)的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運用的技巧。 實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概***大學(xué)本科畢業(yè)論文 ７ 念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義 （ 3） 。如等式 4)1()2( 22 ???? yx （ 2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解 許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化 （ 4） 。例如，將 a＞ 0與距離互化，將 a2與面積互化，將 a2+b2+ab=a2+b2－ 2 )12060(c os ???? ??? 或ba 與余弦定理溝通，將 a≥ b≥ c＞ 0且 b+c＞ a中的 a、 b、 c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對和點溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形。另外，函數(shù)的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相 伴而充分地發(fā)揮作用。 ．?dāng)?shù)形結(jié)合的原則 （ 1）等價性原則 在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞 .有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。 （ 2）雙向性原則 在數(shù)形結(jié)合時，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析，在許多時候是很難行得通的。 例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖 形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。 （ 3）簡單性原則 就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單。而不是去刻意追求一種流性的模式 —— 代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。 4 數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)解題中的應(yīng)用 “數(shù)”中思“形” 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題 一般情況我們用圓來表示集合，兩個圓相交則表示兩個集合有公共的元素，兩個圓相離就表示兩個集合沒有公共的元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題。 ***大學(xué)本科畢業(yè)論文 ８ 例 1 某校先后舉行數(shù)理化三科競賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué) 807 人，物理 739人，化學(xué) 437人；至少參加兩科的：數(shù)理 593人，數(shù)化 371人，理化 267人；三科都參加的 213 人，試計算參加競賽總?cè)藬?shù)。 解 我們用圓 A、 B、 C 分別表示參加數(shù)理化競賽的人數(shù)，那么三個圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用 n表示集合的元素，則有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A n B n C n A B n A C n B C n A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 807 739 437 593 371 267 213 965? ? ? ? ? ? ? 即：參加競賽總?cè)藬?shù)為 965人 . 利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運算 例 2 設(shè) ? ? ? ? .,034|,016| 22 RIxxxBxxA ???????? 求 ., BABABABA ???? 分析 分別先確定集合 A， B 的元素， ? ? ? ?13|,44| ??????? xxxBxxA 或，然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案： ? ?4314| ?????? xxxBA 或? (公共部分 ) IBA ?? (整個數(shù)軸都被覆蓋 ) ? ?4314| ?????? xxxxBA 或或? (除去重合部分剩下的區(qū)域 ) ??BA? (除去覆蓋部分剩下的區(qū)域 ) 數(shù)形結(jié)合思想在解決對稱問題中的應(yīng)用 例 3 如圖，已知 (4,0)A 、 (0,4)B ，從點 (2,0)P 射出的光線經(jīng)直線 AB 反向后再射到直線 OB 上，最后經(jīng)直線 OB 反射后又回到 P 點，則光線所經(jīng)過的路程是（ ） A． 210 B． 6 C． 33 D． 25 C（化） A（數(shù)） B（理） 。 － 4 －２ ０ １ ２ ４ ３ 。 ***大學(xué)本科畢業(yè)論文 ９ [解題思路 ] 利用對稱知識，將折線 PMN 的長度轉(zhuǎn)化為折線 CNMD 的長度 [解析 ] 設(shè)點 P 關(guān)于直線 AB 的對稱點為 )2,4(D ，關(guān)于 y 軸的對稱點為 )0,2(?C ，則光線所經(jīng)過的路程 PMN 的長 ???????? CDNC