【文章內容簡介】 形結合與數、代數 ............................................................................ 2 數與式中數形結合思想的運用 ..................................................... 2 方程與不等式、函數中的數形結合思想的運用 ........................... 4 空間與圖形中的數形結合思想 ............................................................. 7 立體圖形中的數形結合 ................................................................ 7 三角形中的數形結合思想 ............................................................ 7 四邊形中的數形結合思想 ............................................................ 8 數形結合思想在圓中的滲透 ....................................................... 10 統(tǒng)計與概率中的數形結合思想 ........................................................... 13 綜合與創(chuàng)新中的數形結合思想 ........................................................... 14 三 結束語 ..................................................................................................... 15 致 謝 ......................................................................................................... 18 南通大學畢業(yè)論文 1 一 引 言 數形結合思想是一種重要的數學思想，同時也是一種常用的數學方法，它的實 質是“數”與“形”之間的關系的相互轉換，以“數”來討論“形”的關系、以“形”來研究“數”的關系。在談到數形結合的好處的時候，華羅庚先生曾作過這樣的一首詩：“數無形時少直觀，形無數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休”，從這首詩中我們可以看出“數”和“形”在客觀世界中的關系是不可分割的，把“數”與“形”相結合，很多數學問題就能迎刃而解了。在平時的數學教學中，教師如果能夠讓學生做到有意識地將數與形結合起來思考數學問題、理解數學知識和掌握數學方法，那么在解決數學問題時就可以在一定程度上降低問題的難度，同時還能 讓學生加深對知識的理解與掌握，讓學生學得輕松、學得快樂，增加學習興趣，提高學生學習數學的能力。所以在平時的數學教學中，需要我們教師努力地將數形結合思想靈活地滲透到日常的數學教學中去，讓我們的學生能在解決問題的過程中靈活運用數形結合思想來解決問題，并能有意識的運用數形結合思想解決問題，使學生可以達到給出一個數學問題就能聯(lián)想到是否可以運用數形結合思想來解決它的境界，養(yǎng)成運用數形結合來解決數學問題的習慣。 學生的數學學習不需要他們死記硬背，而是需要他們通過理解來學習，在他們理解的同時還需要一些方法和技巧，而數形結 合就是一種學習數學的方法，這個思想方法可以說貫穿于整個數學這一門學科中，無論是小學還是中學都有它的“影子”存在，甚至在大學都有運用它來解決問題的地方。所以對于初中生來說，掌握好數形結合思想方法非常重要，教師在教學中必須使其滲透到位，學生才能很好地掌握與運用數形結合思想，增加學生學習數學的信心與學習興趣，提高學生的數學素養(yǎng)。 南通大學畢業(yè)論文 2 二 正 文 初中生的年齡特征是他們的在 情感方面上反應不穩(wěn)定，容易缺少自我克制的能力；在感知方面上，他們的精細性不夠 、靈敏性比較高，隨年齡的增長，他們的抽象邏輯思維逐漸提高，但是在思維中的具體形象成分還是占比較重要的作用。同時，初中生的注意力、記憶力有了一定的提高，在情感方面豐富而外露，比較容易偏激，不是很穩(wěn)定，在體驗上變得深刻，在自我控制能力上得到了一定的發(fā)展，社會內容方面變得豐富，對于國家、民族的興衰在內心上有著比較強烈的關注，在他們的意志方面上，對于活動的主動性和自覺性有了提高，但是他們的好勝心比較強，在行為方面具有盲目性；他們能自覺評價別人與自己的品質特征。與成年人相比較，在評價別人和自己的品質的能力方面還是不是 很高的。根據這些特點可以看出他們在學習方面不是很穩(wěn)定，除了需要學校和家庭的監(jiān)督外，還需要自我控制，如果學習的內容太難就不易于學生的發(fā)展，所以教學中需要滲透一定的方法來提高學習效率。對于數學的學習，由于它的高度抽象性，所以就更需要數學方法的滲透了，數形結合思想方法就是其中之一，如果學好它可以使學生 養(yǎng)成用數形結合分析問題的意識，增強學生對問題解決的靈活性 ,提高他們分析問題 、 解決問題的能力。 數形結合與數、代數 這一部分的內容主要有數與式、方程與不等式、函數及其圖像。 數與式中數形結合思想的 運用 在這一部分的內容中數形結合思想主要滲透在實數與數軸、因式分解與其幾何圖形中。 數軸是用“形”來研究“數”的有力工具，充分地了解數軸的結構和應用特點很重要，運用數軸我們可以進行數的大小的比較，即正確地運用數軸上的點來表示出相應的數后，應用“數軸上的點表示數，左邊的數總小于右邊的數”進行比較，這樣就比較容易區(qū)分正數與負數之間的關系。 例 1：實數 nm, 在數軸上的點的位置如圖 1所示，則下列選項中對 nm、 的判斷正確的是（ ） 南通大學畢業(yè)論文 3 0?mA、 0?nB、 0?mnC、 0??nmD、 例 2： 3,2,0,2 ?? 這四個數中最大的是（ ） 2 、A 0、B C D 分析：這兩個題考查的是數軸上的點的坐標特征及實數的運算，利用數軸的性質很容易知道 00 ?? nm 、 ，從而 0?mn ； 32??、 都小于 0 ，而 2 是大于 0 ，且 2 在數軸的右邊，以 0 為中點， 32??、 都在左邊，右邊的數總大于左邊的數，從而 2 為最大的數，這樣判斷起來就方便多了。 例 3：如圖 2 所示，在下列各實數中，數軸上點 A 可能表示的是（ ） 、A 4的算術平方根 、B 4的立方根 C、 8 的算術平方根 D、 8 的立方根 分析： A 在 2 與 3 之間，根據數的性質很容易判斷 A 可能為 8 的立方根。 因式分解是把一個多項式化為幾個整式積的形式，如：))((22 bababa ???? 如果要使學生在教學中更容易理解知識，教師可以借助幾何圖形：給出一張紙， 如圖 3中右邊的 形狀，要求 學生 在不浪費紙張的 情況 下剪拼成 左邊 形狀的 圖形 ， 同時畫出圖形，求兩個圖形的面積并表示出來。 0 1 n m 圖 1 A 3 2 0 2 3 1 1 圖 2 b ab 南通大學畢業(yè)論文 4 ? 圖 3 根據圖形的面積公式， ))((,22 bababa ss ?????右左,即有左 =右，這樣既可以有利于幫助學生理解，又有利于學生的對知識的記憶和掌握，從而提高課堂教學效果，達到預期的教學目標。 方程與不等式、函數中的數形結合思想的運用 這一部分的內容主要有函數與方程、數軸與不等式（組）、函數及其圖象。 數軸與不等式之間的關系同數軸與實數之間的關系類似，都是 以“形”來研究“數”，把數在數軸上充分體現出來。利用數軸來研究不等式，不僅給數學教學上帶來了方便，而且讓學生對所學的數學知識加深了理解，使學生的學習更加輕松。例如，在解幾個不等式組時，每個不等式的解都用不等式表示出來了，但是由于不等式比較多，求解集就比較麻煩，容易出錯，如果把每一個不等式解都表示在數軸上，觀察它們在數軸上的公共部分，即為解集，這樣就可以很容易地確定了解集而不至于弄錯，既縮短了解題的時間，又可以讓學生加深對知識的理解與掌握，而不至于讓學生由于復雜而放棄解題，同時通過這樣的成功感可以增加學生學習 數學的興趣，例如求幾個不等式的公共解集時，每一個不等式都有其對于的解集，最后判斷公共解集容易出錯，如果在數軸上表示出來，就變得一目了然了，學生學起來也不累。 函數及其圖象是以平面直角坐標系為基礎來展開的，通常是根據函數表達式、性質畫出圖形，根據坐標上的圖形來判斷函數的性質、表達式，把函數問題轉化為圖形問題，把圖形問題轉化為函數問題。函數與圖形的結合運用，在一定程度上大大降低了數學問題的a 南通大學畢業(yè)論文 5 難度，使問題變得直觀化、形象化，有利于教學活動的開展與學生對數學知識的掌握和理解。 例 4：已知函數 mxy ?? 和函數 4??? mxy 圖象的交點是在 x 軸的負半軸上，那么 m 的值是 ( ). 2?、A B 4?、C 2?、D 分析：已知了函數，我們可以根據函數的性質來可以畫出圖形，如圖 4 所示： 再結合圖形與函數本身的性質就可以很容易地求得 m的值，即有 mm 4??? ， 2??m ，而0??m ，則 2?m 方程與函數主要是利用函數的圖象來研究方程的，通過函數的圖象來判斷方程是否有根、有什么樣的性質，或者根據圖象列出方程，使問題簡單化。 例 5:已知方程 mxx ??? 342 有 4 個根，求實數 m 的取值范圍 。 分析：方程可看著是求函數myxxy ???? 與342有四個根的情形，這時可以畫出一元二次方程的圖象： 3 342 ??? xxyx y o )0( ??? mmxy 4??? mxy mxy ?? （ 0?m ) 圖 4 南通大學畢業(yè)論文