【文章內(nèi)容簡介】 形結(jié)合與數(shù)、代數(shù) ............................................................................ 2 數(shù)與式中數(shù)形結(jié)合思想的運用 ..................................................... 2 方程與不等式、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想的運用 ........................... 4 空間與圖形中的數(shù)形結(jié)合思想 ............................................................. 7 立體圖形中的數(shù)形結(jié)合 ................................................................ 7 三角形中的數(shù)形結(jié)合思想 ............................................................ 7 四邊形中的數(shù)形結(jié)合思想 ............................................................ 8 數(shù)形結(jié)合思想在圓中的滲透 ....................................................... 10 統(tǒng)計與概率中的數(shù)形結(jié)合思想 ........................................................... 13 綜合與創(chuàng)新中的數(shù)形結(jié)合思想 ........................................................... 14 三 結(jié)束語 ..................................................................................................... 15 致 謝 ......................................................................................................... 18 南通大學畢業(yè)論文 1 一 引 言 數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種常用的數(shù)學方法，它的實 質(zhì)是“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，以“數(shù)”來討論“形”的關(guān)系、以“形”來研究“數(shù)”的關(guān)系。在談到數(shù)形結(jié)合的好處的時候，華羅庚先生曾作過這樣的一首詩：“數(shù)無形時少直觀，形無數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”，從這首詩中我們可以看出“數(shù)”和“形”在客觀世界中的關(guān)系是不可分割的，把“數(shù)”與“形”相結(jié)合，很多數(shù)學問題就能迎刃而解了。在平時的數(shù)學教學中，教師如果能夠讓學生做到有意識地將數(shù)與形結(jié)合起來思考數(shù)學問題、理解數(shù)學知識和掌握數(shù)學方法，那么在解決數(shù)學問題時就可以在一定程度上降低問題的難度，同時還能 讓學生加深對知識的理解與掌握，讓學生學得輕松、學得快樂，增加學習興趣，提高學生學習數(shù)學的能力。所以在平時的數(shù)學教學中，需要我們教師努力地將數(shù)形結(jié)合思想靈活地滲透到日常的數(shù)學教學中去，讓我們的學生能在解決問題的過程中靈活運用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題，并能有意識的運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，使學生可以達到給出一個數(shù)學問題就能聯(lián)想到是否可以運用數(shù)形結(jié)合思想來解決它的境界，養(yǎng)成運用數(shù)形結(jié)合來解決數(shù)學問題的習慣。 學生的數(shù)學學習不需要他們死記硬背，而是需要他們通過理解來學習，在他們理解的同時還需要一些方法和技巧，而數(shù)形結(jié) 合就是一種學習數(shù)學的方法，這個思想方法可以說貫穿于整個數(shù)學這一門學科中，無論是小學還是中學都有它的“影子”存在，甚至在大學都有運用它來解決問題的地方。所以對于初中生來說，掌握好數(shù)形結(jié)合思想方法非常重要，教師在教學中必須使其滲透到位，學生才能很好地掌握與運用數(shù)形結(jié)合思想，增加學生學習數(shù)學的信心與學習興趣，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。 南通大學畢業(yè)論文 2 二 正 文 初中生的年齡特征是他們的在 情感方面上反應(yīng)不穩(wěn)定，容易缺少自我克制的能力；在感知方面上，他們的精細性不夠 、靈敏性比較高，隨年齡的增長，他們的抽象邏輯思維逐漸提高，但是在思維中的具體形象成分還是占比較重要的作用。同時，初中生的注意力、記憶力有了一定的提高，在情感方面豐富而外露，比較容易偏激，不是很穩(wěn)定，在體驗上變得深刻，在自我控制能力上得到了一定的發(fā)展，社會內(nèi)容方面變得豐富，對于國家、民族的興衰在內(nèi)心上有著比較強烈的關(guān)注，在他們的意志方面上，對于活動的主動性和自覺性有了提高，但是他們的好勝心比較強，在行為方面具有盲目性；他們能自覺評價別人與自己的品質(zhì)特征。與成年人相比較，在評價別人和自己的品質(zhì)的能力方面還是不是 很高的。根據(jù)這些特點可以看出他們在學習方面不是很穩(wěn)定，除了需要學校和家庭的監(jiān)督外，還需要自我控制，如果學習的內(nèi)容太難就不易于學生的發(fā)展，所以教學中需要滲透一定的方法來提高學習效率。對于數(shù)學的學習，由于它的高度抽象性，所以就更需要數(shù)學方法的滲透了，數(shù)形結(jié)合思想方法就是其中之一，如果學好它可以使學生 養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合分析問題的意識，增強學生對問題解決的靈活性 ,提高他們分析問題 、 解決問題的能力。 數(shù)形結(jié)合與數(shù)、代數(shù) 這一部分的內(nèi)容主要有數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)及其圖像。 數(shù)與式中數(shù)形結(jié)合思想的 運用 在這一部分的內(nèi)容中數(shù)形結(jié)合思想主要滲透在實數(shù)與數(shù)軸、因式分解與其幾何圖形中。 數(shù)軸是用“形”來研究“數(shù)”的有力工具，充分地了解數(shù)軸的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用特點很重要，運用數(shù)軸我們可以進行數(shù)的大小的比較，即正確地運用數(shù)軸上的點來表示出相應(yīng)的數(shù)后，應(yīng)用“數(shù)軸上的點表示數(shù)，左邊的數(shù)總小于右邊的數(shù)”進行比較，這樣就比較容易區(qū)分正數(shù)與負數(shù)之間的關(guān)系。 例 1：實數(shù) nm, 在數(shù)軸上的點的位置如圖 1所示，則下列選項中對 nm、 的判斷正確的是（ ） 南通大學畢業(yè)論文 3 0?mA、 0?nB、 0?mnC、 0??nmD、 例 2： 3,2,0,2 ?? 這四個數(shù)中最大的是（ ） 2 、A 0、B C D 分析：這兩個題考查的是數(shù)軸上的點的坐標特征及實數(shù)的運算，利用數(shù)軸的性質(zhì)很容易知道 00 ?? nm 、 ，從而 0?mn ； 32??、 都小于 0 ，而 2 是大于 0 ，且 2 在數(shù)軸的右邊，以 0 為中點， 32??、 都在左邊，右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)，從而 2 為最大的數(shù)，這樣判斷起來就方便多了。 例 3：如圖 2 所示，在下列各實數(shù)中，數(shù)軸上點 A 可能表示的是（ ） 、A 4的算術(shù)平方根 、B 4的立方根 C、 8 的算術(shù)平方根 D、 8 的立方根 分析： A 在 2 與 3 之間，根據(jù)數(shù)的性質(zhì)很容易判斷 A 可能為 8 的立方根。 因式分解是把一個多項式化為幾個整式積的形式，如：))((22 bababa ???? 如果要使學生在教學中更容易理解知識，教師可以借助幾何圖形：給出一張紙， 如圖 3中右邊的 形狀，要求 學生 在不浪費紙張的 情況 下剪拼成 左邊 形狀的 圖形 ， 同時畫出圖形，求兩個圖形的面積并表示出來。 0 1 n m 圖 1 A 3 2 0 2 3 1 1 圖 2 b ab 南通大學畢業(yè)論文 4 ? 圖 3 根據(jù)圖形的面積公式， ))((,22 bababa ss ?????右左,即有左 =右，這樣既可以有利于幫助學生理解，又有利于學生的對知識的記憶和掌握，從而提高課堂教學效果，達到預(yù)期的教學目標。 方程與不等式、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想的運用 這一部分的內(nèi)容主要有函數(shù)與方程、數(shù)軸與不等式（組）、函數(shù)及其圖象。 數(shù)軸與不等式之間的關(guān)系同數(shù)軸與實數(shù)之間的關(guān)系類似，都是 以“形”來研究“數(shù)”，把數(shù)在數(shù)軸上充分體現(xiàn)出來。利用數(shù)軸來研究不等式，不僅給數(shù)學教學上帶來了方便，而且讓學生對所學的數(shù)學知識加深了理解，使學生的學習更加輕松。例如，在解幾個不等式組時，每個不等式的解都用不等式表示出來了，但是由于不等式比較多，求解集就比較麻煩，容易出錯，如果把每一個不等式解都表示在數(shù)軸上，觀察它們在數(shù)軸上的公共部分，即為解集，這樣就可以很容易地確定了解集而不至于弄錯，既縮短了解題的時間，又可以讓學生加深對知識的理解與掌握，而不至于讓學生由于復(fù)雜而放棄解題，同時通過這樣的成功感可以增加學生學習 數(shù)學的興趣，例如求幾個不等式的公共解集時，每一個不等式都有其對于的解集，最后判斷公共解集容易出錯，如果在數(shù)軸上表示出來，就變得一目了然了，學生學起來也不累。 函數(shù)及其圖象是以平面直角坐標系為基礎(chǔ)來展開的，通常是根據(jù)函數(shù)表達式、性質(zhì)畫出圖形，根據(jù)坐標上的圖形來判斷函數(shù)的性質(zhì)、表達式，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，把圖形問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。函數(shù)與圖形的結(jié)合運用，在一定程度上大大降低了數(shù)學問題的a 南通大學畢業(yè)論文 5 難度，使問題變得直觀化、形象化，有利于教學活動的開展與學生對數(shù)學知識的掌握和理解。 例 4：已知函數(shù) mxy ?? 和函數(shù) 4??? mxy 圖象的交點是在 x 軸的負半軸上，那么 m 的值是 ( ). 2?、A B 4?、C 2?、D 分析：已知了函數(shù)，我們可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來可以畫出圖形，如圖 4 所示： 再結(jié)合圖形與函數(shù)本身的性質(zhì)就可以很容易地求得 m的值，即有 mm 4??? ， 2??m ，而0??m ，則 2?m 方程與函數(shù)主要是利用函數(shù)的圖象來研究方程的，通過函數(shù)的圖象來判斷方程是否有根、有什么樣的性質(zhì)，或者根據(jù)圖象列出方程，使問題簡單化。 例 5:已知方程 mxx ??? 342 有 4 個根，求實數(shù) m 的取值范圍 。 分析：方程可看著是求函數(shù)myxxy ???? 與342有四個根的情形，這時可以畫出一元二次方程的圖象： 3 342 ??? xxyx y o )0( ??? mmxy 4??? mxy mxy ?? （ 0?m ) 圖 4 南通大學畢業(yè)論文