【文章內容簡介】 1 , ??????????????? 33)( 2299100 cbag ???????????????????????????????????0000110112111101013631321312 . （ 3）矩陣的特征多項式有重根 . 同上法 ,為獲得足夠的信息求出 )(?r ,可對 )()()()( ???? rqfg ?? 求導 . 例 3 已知??????????????210111111 ,求100? . 2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 9 頁 共 24 頁 解 A的特征多項式是 )2()1()d e t ()( 2 ??????? ????f 令 100)( ?? ?g ,做帶余除法 0122)()()( bbbqfg ???? ????? 以 2,1?? 分別代入上式 ,有??? ???? ????100012 012 234)2(1)1( bbbg bbbg 為求 )2,1,0( ?ibi ,就 )(?g 對 ? 求導得 1001239。239。 1 0 02)()()()]1()2)(1(2[)( ????????? ????????? bbqgqg 以 1?? 代入上式 ,有 1002 12 ??bb ,從而求得 100020201002 2102,3022,2201 ?????? bbb , 于是 ??????? 0122100 bbb . 對于秩為 1的 n階方陣 A有下面定理 定理 1 對于 n 階方陣 A,若 1)( ??rank ,那么 A可分解為一個列向量與一個行向量的乘積39。???? ,其中??????????????????????????????????nn bbbbaaaa.,.321321????. 例 4 已知??????????????????1233321231211,求 n? . 解 顯然 1)( ??rank ,并且??????????????????1233321231211????????????????? 3121132`1 , 楊燦：矩陣及其應用 第 10 頁 共 24 頁 而 331211321????????????????? ,所以????????????????????????????????????? ???123332123121133312113213 111 nnnn. 可分解為數(shù)量矩陣和零冪矩陣之和的情況 要點 觀察推敲矩陣 A ,看其是否可以分解為一個數(shù)量矩陣 ?? 與一個零冪矩陣 ? 之和 ,即 ?????A ,其中 Om?? ,但 Om ?? ?1 ,因為數(shù)量矩陣 ?? 和 ? 可 以交換 ,于是由二項式定理得 mmnknnkknnkkknnknn mnnknknA ??????????????????????????????????????? ?????? ?? ?????? ??100 )()(. 例 5 已知矩陣 ,?????????????2020420000210042A ,求 nA . 解 觀察矩陣 A 的特點 ,可先將其分塊寫成 ????????? CO OBA,其中 ????????? 21 42B, ????????? 20 42C,則????????? nnn CO OBA ,下面就先求 nB 和 nC . 顯然 1)( ?Br ,即 pqB? ,這里 ????????? 12p, ????????? 21q,且 4?qp ,所以 BB nn 14 ?? . 至于 ???????????????????????? 200 40220 42C, ?????????? 00 40滿足 OP?2 ,代入上述給出的二 次項式公式 ?????? ?????????????? ???nnnnnnnnn nnnPC20 24222)2()2()2(111. 因此本題得解 ?????????????????? ???nnnnnnnA2020242000042000442111. 歸納法 2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 11 頁 共 24 頁 例 6 已知???????????100101???A ,求其 n 次冪 . 解 先來計算 A 的較低次冪 2A 和 3A ,由矩陣乘法直接計算得 ?????????? ??100210221 22 ????A ,?????????? ??1003103331 23 ????A ,?? 由此猜想?????????????? ???100102)1(1 2????nnnnnA n . 以下用數(shù)學歸納法加以證明 . （ 1）當 1?n 時成立 . （ 2）歸納假設結論對 kn? 時亦成立 ,即 ?????????????? ???100102)1(1 2????kkkkkA k . 所以當 1??kn 時 , AAA kk ??1 ,而 ?????????????????????????????????????????????? ???100)110)1(2 )1()11100101100102)1(1 22???????????kkkkkkkkkkAA k , 即當 1??kn 時成立 ,從而證明結論成立 .即?????????????? ???100102)1(1 2????kkkkkA k . 利用相似變換法 要點 若已知矩陣可以經過相似變換化為對角陣時 ,即存在可逆矩陣 ? ,使 ??????1 ,其中楊燦：矩陣及其應用 第 12 頁 共 24 頁 ? 為對角陣 ,其對角線上元素為矩陣 ? 的特征 值 .由上可得 1?????? , 1?????? nn .于是求 ?的方冪就轉化為求過渡矩陣 ? 和對角陣 n? ,而對于 ? 和陣 n? ,我們應用代數(shù)知識要好求得多了 ,具體如下 : 例 7 已知????????????122212221 ,求其 n 次冪 . 解 經過計算 ,矩陣 ? 的特征值 1??? 和 5?? ,對于特征值 1??? 有線性無關特征向量T)101(1 ??? 和 ? ?3 0 1 1 T? ?? ? ?T1102 ??? . 對于特征值 5?? 有特征向量? ?T1113 ?? . 令 ? ????????????????111110101, 321 ??? , 即 ? 可逆 ,且有 ,5000)1(000)1(,5000100011???????????????????????????????? ?nnnn 于是 ., 11 ?? ?????????? nn計算得 ????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnn52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(31111111. 利用 Jordan標準形 例 8 已知?????????????????411301621 ,求k? . 解 第一步 :首先求矩陣 ? 的若爾當標準形 .由 ??????????????????????????????2)1(0001000141131621?????? . 從而初等因子為 )1( ?? , 2)1( ?? ,故 ? 的若爾當標準形???????????100010001J . 2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 13 頁 共 24 頁 第 二步 :求可逆矩陣 T 使 JATT ??1 ,即 TJAT? . 設 ),( 321 ????T ,所以有 332211 , ?????? ?????? . 由 22 ?? ?? 得 32)( ?? ????? ,設 ? ?Txxx 3212 ,?? , ? ?Tyyy 3213 ,?? ,則由 ????????????????????????????????????3221321000311622311311622)(yyyyyyy, 而 32)( ?? ????? 有解 ,故 32 yy ? ,又 33 ?? ?? ,從而 0)( 3 ???? ? 即 0311311622321????????????????????????yyy, 于 是 有 03 321 ??? yyy , 所以得 21 2yy? . 令 132 ??yy , 則 21?y . 于是T)112(3?? ,再解 T)001(2 ??? . 于是求得 ? ??????????? ???101100213, 321 ???T . 第 三步 :由第二步得 1??? TJT . ??????????????????????????????????????????????????? ???? ?kkkkkkkkkkTTJ kk31316221010311110100100011011002131 . 解線性方程組 定理 1 （克拉默法則） 如果線性方程組???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????22112222212111212111 （ ） 楊燦：矩陣及其應用 第 14 頁 共 24 頁 的系數(shù)矩陣???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212222111211的行列式 ,