構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用_畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-04-09 18:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ”。 （ 3）算法數(shù)學(xué)階段 “發(fā)現(xiàn)集合論悖論以后，有些數(shù)學(xué)家認(rèn)定了解決這些悖論引起的問題的唯一徹底的方法就是把所有的一般集合論概念都叢數(shù)學(xué)中排除掉，只限于研究那些可以能行 的定義或構(gòu)造的對象”這就是布勞威創(chuàng)立直覺數(shù)學(xué)的想法。由于馬爾科夫的工作，使構(gòu)造性方法進(jìn)入了“算法數(shù)學(xué)”的階段。 （ 4）現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段 1967 年，比肖泊的書出版以后，宣告了構(gòu)造法進(jìn)入“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)”階段。比肖泊通過重建現(xiàn)代分析的一個重要部分，重新激發(fā)了構(gòu)造法的活力。他研究的課題廣及測度論、對偶理論、泛函微積 。 （三）構(gòu)造法的特征 運用構(gòu)造法解決問題有以下特點： （ 1）構(gòu)造法是通過構(gòu)造一個輔助問題而使原問題得到轉(zhuǎn)化。 （ 2）構(gòu)造法解決問題的步驟比較直觀。 構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用畢業(yè)論文 4 （ 3）構(gòu)造法解決問題有非常大的靈活性．針對 某一具體問題，怎樣去進(jìn)行構(gòu)造。這與學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功和解題經(jīng)驗都密切相關(guān)。 當(dāng)我們遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題而無從下手解決時，如果我們恰到好處的構(gòu)造出一個數(shù)學(xué)模型來，便會有種“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的感覺 。 三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用 理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個認(rèn)識上的飛躍。很多數(shù)學(xué)命題繁冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味 。 （一）構(gòu)造函數(shù) 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是解決初等數(shù)學(xué)問題的根本出發(fā)點，利用函數(shù)的性質(zhì)，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)問題來解，是一種常見、并且非常有效的做法。 例 1：若 , , , , , , 0x y z a b c r ?， 證明 ： x y a b y z b c x z a cx y a b c r y z a b c r x z a b c r? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 分析：這三個分式的結(jié)構(gòu)類似，可以看作是函數(shù) () xfx xt? ? 在對應(yīng)點處的值。所以構(gòu)造函數(shù) ( ) 1 ( 0 )xtf x tx t x t? ? ? ???， 顯然 ()fx在 ( , ), ( , )tt?? ? ? ??上單調(diào)遞增，圖象是雙曲線，直線 xt?? 和 ( ) 1fx? 是該雙曲線的漸近線，利用函數(shù)的單調(diào)性有： x y a b y z b cx y a b c r y z a b c r? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x a b z b c x a z c x z a cx a b c r z a b c r x z a b c r x z a b c r x z a b c r? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 2：解方程 22( 6 5 ) [ 1 ( 6 5 ) 4 ] ( 1 4 ) 0x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析：通過觀察方程可知方程的特點，并構(gòu)造函數(shù) 2( ) (1 4 )f t t t? ? ? ?。 構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用畢業(yè)論文 5 2( ) ( 1 4 ) ( ) , ( )f t t t f t f t? ? ? ? ? ? ? ? ?為奇函數(shù)。由原方程可知，22( 6 5 ) ( 1 ( 6 5 ) 4 ) ( 1 4 )x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 (6 5) ( )f x f x? ? ?，又有 ()ft 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以 65xx? ?? ，原方程得解。 （二）構(gòu)造向量 平面向量是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的教學(xué)工具，它不僅反映數(shù)量關(guān)系，而且體現(xiàn)位置關(guān)系，所以充分利用向量模型可以解決代數(shù)，幾何以及三角等數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，其解題思路簡單，尤其是對幾何問題，效果相當(dāng)顯著。 例 3：求函數(shù) ( ) 2 1 2 1f x x x? ? ? ?的最大值。 解：構(gòu)造向量 a=(2,2),b=? ?1 , 1xx??,于是( ) 8 2 4f x a b a b? ? ? ? ? ?， 當(dāng)且僅當(dāng) ( 0)ab????，即 21xx??? ????????，所以 0( 2)x ???時，等號成立。 0x??時， ()fx取得最大值 4。 例 4：已知 ,abc為正數(shù)，求函數(shù) 2 2 2 2()y x a c x b? ? ? ? ?的最小值。 解：構(gòu)造向量 ? ? ? ?, , ,a x a b c x b? ? ?，原函數(shù)則化為： ? ? ? ? ? ?2 2 22y a b a b x c x a b c a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22m iny c a b? ? ? ? （三）構(gòu)造數(shù)列 在解決許多數(shù)學(xué)問題尤其是不等式證明題中，通?？梢詷?gòu)造一個數(shù)列，利用數(shù)列的性質(zhì)（如單調(diào)性）和數(shù)列的求和運算來解題，很有實 用價值。 例 5：證明： ? ?1111 1 1 , 2 , 3 . . . . . .1nn nnn??
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