輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析上的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-09-30 21:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?， 兩式相除得 xaby? ； 由 22axyz ???，22c zxy ???， 兩式相除得 xacz? ． 再將 xaby? ， xacz? 代入 01222222 ???? czbyax ， 得 3ax?，3by?，3cz?， 于是最大的體積為 畢業(yè)設(shè)計（論文） 4 338abcV?． 不是任何函數(shù)都可以用來構(gòu)造輔助函數(shù)，單調(diào)函數(shù)和拉格朗日函數(shù)都可以構(gòu)造輔助函數(shù)來解決問題，當(dāng)然還有部分可積函數(shù)、延拓函數(shù)等其它函數(shù)也可 以構(gòu)造成輔助函數(shù)，能夠造成輔助函數(shù)的函數(shù)必須具有其相應(yīng)的性質(zhì)或功能，這樣才能使得問題得到解決． 畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 3 輔助函數(shù)的構(gòu)造方法 要想進(jìn)一步探究 輔助函數(shù)法在數(shù)學(xué)分析中的運用，筆者認(rèn)為應(yīng)該明晰對怎樣構(gòu)造輔助函數(shù)這一問題．如下將詳略地介紹構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法： 幾何法 數(shù)學(xué)分析中，存在有些概念或命題具有特殊的集合意義．例如函數(shù)在某點出的導(dǎo)數(shù)值為曲線對應(yīng)點處切線的斜率，定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積；羅爾定理的幾何意義為曲線上至少存在一點處的切線平行于軸等．對于這些問題 ，依據(jù)其集合意義構(gòu)造函數(shù)，接著利用已有的知識便迎刃而解． 積分意義法 例 5 設(shè)函數(shù) )(xf 在上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)(39。 ?xf ．證明：存在唯一的）（ ba,?? 使曲線 )(xfy? 與直線 xa? 及 )(?fy? 所圍成的面積 1S 是 )(xfy? 與直線 bx? 及 )(?fy? 所圍成的面積 2S 的三倍． 分析 利用定積分知 ? ? ? ? dxfxfSdxxffS ba ???????? ?? )()(,)()(21． 因此，要證 ? ? ? ?dxfxfdxxff ba ??????? ?? )()(3)()( ， 可作輔助函數(shù)： ? ? ? ? ),(,)()(3)()()( baxdxfxfdxxffx ba????? ???? ??? ， 用介值定理證明 ? 的存在性，用導(dǎo)數(shù)證明 ? 的存在性，用導(dǎo)數(shù)證明 ? 的唯一性． 證明 作 ? ? ? ? dxfxfdxxffx ba ???????? ??? )()(3)()()( ， 則 ? ? ? ??? ??????? badxxfbfbfdxafxfaf?? 0)()()(,0)()(3)( ． 畢業(yè)設(shè)計（論文） 6 )(x? 在 ? ?ba, 上連續(xù)，由介值定理知，存在 ? 使 0)( ??? ， 又 )(x? 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()34()( xfbaxx ?????? ， 由 0)( ??xf 知， 43bax ?? 是 )(x? 的極小值點， 即 )(x? 在 ?????? ?43, baa上單調(diào)減少，而在 ?????? ? bba ,43上單調(diào)遞增， 故 ),43( bba??? 且是唯一 的． 三點定拋物線法 一般地，過三點 ),(),(),( 332211 yxyxyx 的二次拋物線的方程為： 31323 1221232 1313121 32 ))(( ))(())(( ))(())(( ))(()( yxxxx xxxxyxxxx xxxxyxxxx xxxxxp ?? ????? ????? ??? 對于含函數(shù) )(xf 在二階導(dǎo)數(shù)的問題，若知道函數(shù)在不同的三點處的值，便可利用“三點定拋物線”，另 )(x? 等于 )(xf 與拋物線縱坐標(biāo)差值來解決． 例 6 設(shè) )(xf 在 ? ?40， 上二階可導(dǎo)，且 2)4(,1)1(,0)0( ??? fff ，證明存 )4,0(?? ，使 31)( ??xf ． 證明 過三點 )2,4(),1,1(),0,0( 可做拋物線 xxy 6761 2 ??? ， 令 畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 )6761()()( 2 xxxfx ????? ， 則 31)()( ?????? xfx? ， 且 0)4()1()0( ??? ??? ， 在 ? ?? ?4110 ，， 上對 )(x? 用羅爾定理，存在 )4,1(),1,0( 21 ?? ?? 使得 0)()( 21 ???? ???? ， 在 ? ?21,?? 上對 )(x?? 用羅爾定理得，存在 )4,0(?? 使得 0)(39。39。 ?x? ，即 31)( ???f ． 原函數(shù)法 在利用微分中值定理求解介值（或零點）問題時，與證明的結(jié)論往往是某個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點，因此可通過不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù)．具體步驟為 [8]： （ 1)將欲證結(jié)論中的 ? （或者 0x ）換成 x ； （ 2）通過恒等變形，將結(jié)論化為易積分（或容易消除導(dǎo)數(shù)符號）的形式； （ 3）用觀察法或湊微分法等方法示出原函數(shù)，為簡便起見，可將積分常數(shù)去為零； （ 4）移項，使等式一邊為零，則等式的另一邊即為所需的輔助函數(shù)． 例 7 設(shè) )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)， ba??0 ，證明：在 ? ?ba, 內(nèi)必存在一點 ? ，使 )(39。)( ln)()( ?? fabafbf ?? ． 證明 將要證明結(jié)論中的 ? 換成 x ，在變形為 ? ? )()( ln1)()( xfabxafbf ??? ， 則 )(xF 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)，且 畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 bafabfaFbF ln)(ln)()()( ??? ， 由羅爾定理知，存在 ),( ba?? ，使得 0
高考資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1