輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析上的應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-07-22 21:07 本頁面
【正文】 ................. 9 4 輔助函數(shù)法在數(shù)學(xué)分析中的運用 ............................................................................. 11 證明中值定理 .................................................................................................... 11 解決有關(guān)不等式與等式的問題 ........................................................................ 11 不等式的問題 .......................................................................................... 11 證明等式 .................................................................................................. 12 解方程及探討方程的根 .................................................................................... 12 5 結(jié)論 .............................................................................................................................. 14 致謝 .................................................................................................................................. 15 參考文獻 .......................................................................................................................... 16 1 1 引言 研究意義 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題中，輔助函數(shù)法是的一種重要手段，特別在《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)和解題當(dāng)中我們會經(jīng)常遇到構(gòu)造輔助函數(shù)來解決相關(guān)題目的方法．通過構(gòu)造輔助函數(shù)，我們求解的問題簡單化，并且挖掘命題中的隱含條件使其具體化、明顯化．這就好 像在生活中遇到阻礙，為了清除障礙，我們就會想到通過某種方式或者借助某種手段來克服障礙．構(gòu)造輔助函數(shù)法就是我們不對問題的本身進行求解，而是通過構(gòu)造一個新的函數(shù)，此函數(shù)是與我們所求解的命題密切相關(guān)且相符的，之后從這個新的函數(shù)的角度去觀察、分析和解答所要求解問題．作為數(shù)學(xué)類的相關(guān)專業(yè)的學(xué)生，在學(xué)習(xí)過程中，注重這種數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用是必須的，如此不僅可以使我們的解題能力得以提高而且還可以提高我們的數(shù)學(xué)素質(zhì)．本文從在數(shù)學(xué)分析中的幾類問題出發(fā)，介紹構(gòu)造輔助函數(shù)的思想方法在解決相關(guān)問題當(dāng)中的運用 [1]． 輔 助函數(shù)法的定義 定義 輔助函數(shù)法就是通過某種方式 (或方法 )構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再利用此函數(shù)的某種（或幾種）性質(zhì)解決相關(guān)問題的方法． 注 輔助函數(shù)的性質(zhì)是運用輔助函數(shù)法解決問題的重中之重，應(yīng)給予足夠的重視． 例 1 已知函數(shù) 221)(,ln)( xxgxxf ?? ，若 021 ??xx ，總有 ? ? )()()()( 221121 xfxxfxxgxgm ??? 成立，求實數(shù) m 的取值范圍． 簡解 首先構(gòu)造輔助函數(shù) 0),()()( ??? xxxfxmgxt ，且由題意可知函數(shù) )(xt 為定義域內(nèi)的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，所以 )(xt 的導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立，再利用變參分離，即可求得實數(shù) m 的取值范圍為 1?m ． 若例 1 直接運用變參分離的方法進行求解，難度相對來說會比較大，但運用輔助函數(shù)法就可以輕易解決．由此輔助函數(shù)的構(gòu)造方向問題也就呈現(xiàn)了出來，尋找函數(shù)構(gòu)造最恰當(dāng)輔助函數(shù)，同時我們也要清楚該輔助函數(shù)的性質(zhì)與功能． 畢業(yè)設(shè)計（論文） 2 2 可作為輔助函數(shù)的函數(shù) 單調(diào)函數(shù) 單調(diào)函數(shù)作為一種常見的函數(shù)，其中絕大部分都可以依據(jù)題意進行輔助函數(shù)的構(gòu)造，通過題目給出的意思，進行移項或者作商等方法，得到 輔助函數(shù)的單調(diào)性，從而得到問題的解題思路． 例 2 設(shè) bae ?? ， 證明 ： ab ba? ． 分析 對于關(guān)于兩個常數(shù)的不等式，一般將其中一個常數(shù)轉(zhuǎn)換成變量，再構(gòu)造單調(diào)函數(shù)，利用輔助函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行證明． 證明 ab ba? 等價于 0lnln ?? baab ． 令 xaaxx lnln)( ??? ， 顯然 0)( ?a? ． )(0ln)(39。 axxaax ????? ， 又由于 ??? ??? )(0)(39。 0)( axxa?? 得 )(0)( axx ??? ， 所以 0)( ?b? ，故 ab ba? ． Lagrange 函數(shù) 拉 格 朗 日 函 數(shù) 是 力 學(xué) 系 的 特 性 函 數(shù) ， 其 明 顯 的 表 現(xiàn) 形 式 為)。,...。,...,( 11 tqqqqLL ss ??? ，而在數(shù)學(xué)分析中其表現(xiàn)形式為一種多元函數(shù)，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方式，求其偏導(dǎo)函數(shù)得到駐點，從而找到極大（極?。┲祷蛘咦畲螅ㄗ钚。┲?[4]． 例 3 求橢圓 1222222 ??? czbyax 的內(nèi)接長方體的最大體積． 畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 解 設(shè)橢圓內(nèi)接長方體位于第一卦限的頂點坐標(biāo)為 ),( zyxM ， 則 xyzV 8? ， 設(shè) )1(222222 ????? czbyaxxy zF ? ， 令 ????????????????????????.01,0239。,0239。,0239。222222222czbyaxczxyFbyxzFaxyzFzyx??? 由 22axyz ???，22byxz ??
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