輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析上的應(yīng)用畢業(yè)論文-wenkub.com
2024-08-21 21:07 本頁(yè)面
【正文】 ?xf ．于是 )(xF 在閉區(qū)間 ? ?1,0x 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 )1,0(上可導(dǎo)，且 0)1()( 0 ?? FxF ，所以 )(xF 在閉區(qū)間上滿足羅爾中值定理．因此，至少有一點(diǎn) )1,0()1,( 0 ?? x? ，使得 0)( ???F ． 即： 0)()1()()1(2 2 ??????? ???? ff ． 由于 0)1( ??? ， 所以 0)()1()(2 ????? ??? ff ． 常數(shù)分離法 若欲要證明的命題中恒等變形，使等式一端，常數(shù)已分離，可考慮用以下步驟求輔助函數(shù)： （ 1） 將常數(shù)部分記作 k ； （ 2） 做恒等變形，使等式一端為 a 構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為 b 構(gòu)成的代數(shù)式； （ 3）分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)是否為對(duì)稱(chēng)式，若是 ，只要把端點(diǎn) a （ b ）改為 x ，則換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式就是所求的輔助函數(shù)． 例 9 設(shè) )(xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，證明：在 ),( ba 內(nèi)至少有一點(diǎn) ? ，使得 kab aafbbf ??? )()( ． 證明 令 kab aafbbf ??? )()( ， 則 kaaafkbbbf ??? )()( ， 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 顯然，這是一個(gè)關(guān)于 ba, 的對(duì)稱(chēng)式可以構(gòu)造輔助函數(shù)為 xab aafbbfxxfkxxxfxF ?????? )()()()()( ， 則 )(xF 在在區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()( aFbF ? ，由羅爾定理可知，存在 ),( ba?? ，使得 0)( ???F ，則有 )()()()( ??? ffab aafbbf ????? ． 以上通過(guò)介紹幾何法、原函數(shù)法和微分方程法以及常數(shù)分離法這幾種方法，結(jié)合實(shí)例講解了構(gòu)造輔助函數(shù)方法的使用，突出了構(gòu)造輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中解題時(shí)的實(shí)用性和有效性，在解題時(shí)恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助函數(shù)可以方便地拓寬解題的思路，相對(duì)于直接去解，有極大的優(yōu)勢(shì)．當(dāng)然在數(shù)學(xué)分析中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法還有很多，比如恒等變形法、不完全歸納法和逆向思維法，以及融合了各種方法的綜合分析法等等，通過(guò)這些構(gòu)造輔助函數(shù)的方法都可以使我們解題事半功倍． 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 4 輔助函數(shù)法在數(shù)學(xué)分析中的運(yùn)用 輔助函數(shù)法在數(shù)學(xué)分析中的運(yùn)用是本文的重點(diǎn)，下面我們將從幾個(gè)方面來(lái)闡述輔助函數(shù)法在眾多數(shù)學(xué)分析問(wèn)題中的運(yùn)用 . 證明中值定理 在數(shù)學(xué)分析中，人們將拉格朗日定理、羅爾定理、柯西定理稱(chēng)之為微分中值定理．微分中值定理是數(shù)學(xué)分析的基石，在各種版本的教材里，對(duì)各個(gè)中值定理的證明都堪稱(chēng)經(jīng)典．這里筆者運(yùn)用輔助函數(shù)法重點(diǎn)對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行證明： 若函數(shù) f 滿 足如下條件： （ i） f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)； （ ii） f 在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得： ab afbff ???? )()()(? ． 證明 先做一個(gè)輔助函數(shù)： )()()()()()( axab afbfafxfxH ?????? ， 易知 )()( afbf ? ，存在 ? ?ba,?? ，使得 0)()()()( ??????? ab afbffxH ? ， 故 ab afbff ???? )()()(? ， 定理得證． 注 ① 該定理的證明方法還有很多種，請(qǐng)讀者參考相關(guān)資料繼續(xù)探究； ② 當(dāng) )()( afbf ? 時(shí)，本 定理的結(jié)論即為羅爾定理，說(shuō)明羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況．因此，這里對(duì)羅爾定理的證明從略． 解決有關(guān)不等式與等式的問(wèn)題 不等式的問(wèn)題 不等式問(wèn)題十分常見(jiàn)，難度也不小，有關(guān)不等式的著名公式、定理也很多．當(dāng) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 正面直接利用不等式的知識(shí)難以解決時(shí)，我們可以另辟蹊徑，運(yùn)用輔助函數(shù)法去解決，問(wèn)題則可能會(huì)變得很簡(jiǎn)單 . 例 10 已知 22 ?? ??x ， 證明： ?21cos xx ?? ． 簡(jiǎn)證 先構(gòu)造輔助函數(shù) 1c o s)( 2??? ?xxF ， 要證原不等式成立，即證輔助函數(shù) F 的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，所以 0s i n2)(39。)1()(39。39。,0239。 axxaax ????? ， 又由于 ??? ??? )(0)(39。 0)( axxa?? 得 )(0)( axx ??? ， 所以 0)( ?b? ，故 ab ba? ． Lagrange 函數(shù) 拉 格 朗 日 函 數(shù) 是 力 學(xué) 系 的 特 性 函 數(shù) ， 其 明 顯 的 表 現(xiàn) 形 式 為)。,0239。 ?x? ，即 31)( ???f ． 原函數(shù)法 在利用微分中值定理求解介值（或零點(diǎn)）問(wèn)題時(shí)，與證明的結(jié)論往往是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，因此可通過(guò)不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù)．具體步驟為 [8]： （ 1)將欲證結(jié)論中的 ? （或者 0x ）換成 x ； （ 2）通過(guò)恒等變形，將結(jié)論化為易積分（或容易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)）的形式； （ 3）用觀察法或湊微分法等方法示出原函數(shù)，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可將積分常數(shù)去為零； （ 4）移項(xiàng)，使等式一邊為零，則等式的另一邊即為所需的輔助函數(shù)． 例 7 設(shè) )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)， ba??0 ，證明：在 ? ?ba, 內(nèi)必存在一點(diǎn) ? ，使 )(39。2 ??? xfxxf ， 把 )(39。 ??? xxxF ? ， 再次構(gòu)造輔助函數(shù) ?2s in)( ?? xxxG ， 只需求導(dǎo)，明晰該輔助函數(shù)的單調(diào)性，原不等式便得證． 證明等式 例 11 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ??1,0 上連續(xù)，在區(qū)間 ? ?1,0 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)1(1)0( ?? ff ， ，證明：存在一點(diǎn) )1,0(?? 使得 0)()( ??? ??? ff ． 簡(jiǎn)證 先構(gòu)造輔助函數(shù) )()( xxfxH ? ， 由羅爾中值定理即可證得
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