[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析答案-文庫吧
2024-12-25 01:04 本頁面
【正文】 上的函數(shù)，對任何 au? ，它們在 ],[ ua 上都可積。證明：若 ???a dxxf )(2與 ???a dxxg )(2收斂，則 ???a dxxgxf )()(與 ??? ?a dxxgxf 2)]()([也都收斂。 證由 )(21|| 22 gffg ?? 及 ???a dxxf )(2與 ???a dxxg )(2收斂可知 ??? ?a dxxgf ))(( 22收斂，故 ???a dxxfg )(也收斂。又 222 2)( gfgfgf ???? 從而，由 ???a dxxf )(2， ???a dxxg )(2及 ???a dxxfg )(收斂知 ??? ?a dxxgf )()( 2收斂。 設(shè) f ， g ， h 是定義在 ),[ ??a 上的三個連續(xù)函數(shù)，且成立不等式 )()()( xgxfxf ??證明： （ 1）若 ???a dxxh )(與 ???a dxxg )(都收斂，則 ???a dxxf )(也收斂； （ 2）又若 ? ??? ?? ??a a Adxxgdxxh )()(，則 ???a dxxf( （ 1）由于 f ， g ， h 是定義在 ),[ ??a 上的三 個連續(xù)函數(shù)，故 hghf ?? , 必在有限區(qū)間 ],[ ua 上可積，又由 )()()( xgxfxh ?? 知 )()()()(|)()(| xhxgxhxfxhxf ????? 由已知，有 ??? ?a dxxhg )]()[收斂，據(jù)比較原則，知 ??? ?a dxxhxf |)()(|收斂，從而 ??? ?a dxxhxf )]()([ 收斂，由 ???a dxxh )( 收斂得 ???a dxxf )( 也收斂。 （ 2）由已知，在給 aM? ，有 ? ? ???Aa Ma Ma dxxgdxxhdxxh )()()( 且 ? ?????? ??Mc aM Adxxhdxxh )()(l im， ? ?????? ??Ma aM Adxxgdxxg )()(l i m 由迫斂性定理： ? ??? ??? ??a MaM Adxxfdxxf )(l i m)( 。 討論下列無窮積分的收斂性： （ 1） ????0 4 1xdx （ 2） ????1 1 dxex x； （ 3） ????0 1 xdx；
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