[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析答案(已修改)
2025-01-21 01:04 本頁面
【正文】 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別 證明定理 1 定理 （比較法則）設(shè)定義在 [ ),??a 上的兩個(gè)函數(shù) f 和 g 都在任何區(qū)間 ],[ ua 上可積，且滿足 ),[),(|)(| ???? axxgxf ，則當(dāng) ???a dxxg )(收斂時(shí)， ???a dxxf |)(|必收斂（或者，當(dāng) ???a dxxg )(收斂，所以 aA?? ，當(dāng) Auu ?? 12 時(shí)，有 ? ?21 )(uu dxxg ? 。 由于 )(|)(| xgxf ? ， ),[ ???? ax ，因此更有 ? ? ??2121 )(|)(|uu uu dxxgdxxf ? 故 ???a dxxf |)(|收斂。 推論 1 若 f 和 g 都在任何 ],[ ua 上可積， 1)( ?xg ，且 cxg xfx ??? )( |)(|lim，則有 （ I）當(dāng) ????c0 時(shí)， ???a dxxf |)(|與 dxxga??? )(同斂態(tài)； （ ii）當(dāng) 0?c 時(shí)，由 ???a dxxg )(收斂可推知， dxxfa |)(|???出收斂； （ iii）當(dāng) ???c 時(shí)，由 ???a dxxg )(發(fā)散可推知 ???a dxxf |)(|也發(fā)散。 證 （ I）因?yàn)????????? cxgxfx )(|)(|lim0 ，所以 )(0 c??? ?? 存在 aA? ，使得當(dāng)Ax? 時(shí)，有 ?? ????? cxg xfc )( |)(|0 即 dxxgcxfxggc )()(|)(|)(()(0 ?? ????? （ *） 從而，若 ???a dxxg )(收斂，那么 ??? ?A dxxgc )()( ?收斂。于是由 ? ? ???? Aa A dxxfdxxfdxxf |)(||)(||)(| 收斂。 若 ???a dxxg )(發(fā)散，則 ??? ?A dxxgc )()( ?發(fā)散，而 |,)(|)()(0 xfxgc ??? 故 ???a dxxf |)(| 發(fā)散，即 ???a dxxf ||(| 發(fā)散。綜合即知， ???a dxxf |)(| 與 ???a dxxg )( 同斂態(tài)。 （ ii）在（ *）中令 0?c ，取右半個(gè)不等式，類似可證得結(jié)論。 （ iii）在（ *）中取 1???c ，用左半個(gè)不等式即將得證。 設(shè) f 與 g 是定義在 [ ),??a
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