數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念(已修改)
2025-08-31 12:13 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 167。 1 函數(shù)極限概念 一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 二、 x趨于 x0 時(shí)的函數(shù)極限 三、單側(cè)極限 在本章 ,我們將討論函數(shù)極限的基本 聯(lián)系 ,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理 . 函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的 概念和重要性質(zhì) .作為數(shù)列極限的推廣 , 返回返回 后頁 前頁 一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) 定義在 )(xf ? ???,aA)(xfxyO極限 . ??f (x)當(dāng) x 趨于 時(shí)以 A為 也無限地接近 A,我們就稱 無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) ,函數(shù) f (x) 上 ,當(dāng) x 沿著 x 軸的正向 返回 后頁 前頁 x 趨于 例如 函數(shù) ,ar c t an xy ? 當(dāng) 時(shí) , ??xyπ210 20 30 40 O 1 為極限 . 以 xa rcta n π2返回 后頁 前頁 記為 或者 l i m ( )x f x A? ? ? ?).()( ???? xAxf定數(shù) , 若對于任意正數(shù) 存在 使得 ，0?? ，)( aM ?,)( ??? AxfAxxf 時(shí)以趨于當(dāng) ??)(則稱函數(shù) .為極限,時(shí)Mx ?當(dāng)定義 1 ? ? ., 上的一個函數(shù)為定義在設(shè) ??af A 為 返回 后頁 前頁 ④ ()A f x A??有 ? ? ? ?l i m ( )x f x A? ?? ? 的 幾 何 意 義③ xM?使 當(dāng) 時(shí)xA??A??① 任意給定 0??M② 存在 Ma?AxyO a返回 后頁 前頁 ④ ()A f x A??有 ? ? ? ?l i m ( )x f x A? ?? ? 的 幾 何 意 義③ xM?使 當(dāng) 時(shí)xA??A??① 任意給定 0??M② 存在 Ma?xAyO a返回 后頁 前頁 注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù) . 請大家 所以 (由定義 1), 例 1 證明 .01lim ???? xx 任給 取 證 ,0?? ,1??M ,時(shí)當(dāng) Mx ?,10)( ???? xxf.01lim ???? xx與不同點(diǎn) . 比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點(diǎn) 返回 后頁 前頁 例 2 .2a r c t a nl i m ????? xx證明證 任給 ),2(0 ??? ?? ).2t a n( ?? ??M取這就是說 πl(wèi)im a r c t a n .2x x? ? ? ?時(shí)，當(dāng) Mx ? 嚴(yán)格增，因?yàn)?xar c t anπ π( ) ar c t an22f x x? ? ?π π( ) .22? ? ? ???返回 后頁 前頁 ,)( ??? Axf定義 2 ? ? ,)( 上定義在設(shè) bxf ??.是一個常數(shù)A,0?? ,0?M存在 ()x M b? ? ?當(dāng) 時(shí)若對于任意記為 Axxf 時(shí)以當(dāng) ???)( ,為極限則稱 Axfx ???? )(l i m 或 ).()( ???? xAxf返回 后頁 前頁 為極限，時(shí)以當(dāng)則稱 Axxf ??)(記為 ,)( ??? Axf定義 3 A ,)()( 內(nèi)的某個鄰域定義在設(shè) ?? Uxf存在 當(dāng) ，0?M,0??.為一個常數(shù) 若對于任意xM? 時(shí)Axfx ??? )(lim 或 ).()( ??? xAxf返回 后頁 前頁 證 對于任意正數(shù) ),10( ?? ?? ,ln ???M取lnx ?當(dāng) 時(shí)?這就是說 例 3 求證 l i m e ??? ?.e0e ???? xx.0elim ???? xx返回 后頁 前頁 例 4 求證 .01 1l i m 2 ???? xx22110,1 xx ?? ? ??所以結(jié)論成立 . ,1??M 有時(shí)當(dāng) ,Mx ?證 對于任意正數(shù) ? , 可取 返回 后頁 前頁 從定義 2 、 3 不難得到 : .)(lim)(lim Axfxf xx ?? ??????定理 ?定義在 則的一個鄰域內(nèi)，)(xfxx a r c t a nl i m??則由定理 ， .不存在Axfx ??? )(lim 的充要條件是： π πl(wèi)im a r c t a n , lim a r
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