數(shù)學(xué)分析-定積分應(yīng)用(已修改)
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【正文】 2022/8/26 1 第十章 定積分應(yīng)用 0 x y a y=f (x) b x+dx x 2022/8/26 2 定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實(shí)際問(wèn)題引起和推動(dòng)的。因此定積分的應(yīng)用也非常廣泛。本書主要介紹幾何、物理上的應(yīng)用問(wèn)題，例如：平面圖形面積，曲線弧長(zhǎng)， 旋轉(zhuǎn)體體積，水壓力，抽水做功，引力等。 第一節(jié) 定積分的元素法 一、問(wèn)題的提出 如何應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題 _____微元法： 2022/8/26 3 回顧 曲邊梯形面積 A 的計(jì)算過(guò)程： ?? ba dxxf )(把區(qū)間 [a, b]分成 n個(gè)小區(qū)間 , 有 ????niiAA1總量 A 對(duì)于 [a, b]具有區(qū)間可加性 , 計(jì)算 ?Ai的近似值 iii xfA ??? )(?)( 1 iii xx ??? ?得 A的 近似值 ????niii xfA1)( ?????????baniiidxxfxfA)( )(lim10??ii xf ??)(?(1) 分割 . (2) 近似 . (3) 求和 . (4) 求極限 . n個(gè)部分量 Ai 的和 . a b ?0x 1x ii xx 1? 1?nx nx?0 x y y = f (x) 1? 2? i? n?即 A可以分割成 2022/8/26 4 把上述步驟 略去下標(biāo) ，改寫為： (1) 分割 . (2) 近似 . (3) 求和 . (4) 求極限 . 計(jì)算 ?A的近似值 dxxfA ??? )(xy0 a b? ?xfy ?x x+dx ??ba xxfA d)( 則稱為面積元素并記 )( dxxfdA ?這種方法通常稱為 微元法 或 元素法 面積微元 用 ?A表示 [x, x+dx]上的小 曲邊梯形的面積， 取微元 任取一個(gè)具有 代表性 的小區(qū)間 [x, x+dx] (區(qū)間微元 )， 2022/8/26 5 1. 若總量 U非均勻分布在變量 x的某個(gè)區(qū)間 [a, b]上 。 2. 總量 U有可加性 . (1) 求微元 局部近似得 dU = f (x)dx (2) 求全量 微元積分得 ?? ba dxxfU )(應(yīng)用方向： 平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等． 可用微元法的條件 步驟 2022/8/26 6 (1) 整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為局部問(wèn)題； (2) 在局部范圍內(nèi)，以常代變，以直代曲； 微元法的實(shí)質(zhì) (3) 取極限 (定積分 ) 由近似值變?yōu)榫_值。 2022/8/26 7 例 1. 寫出長(zhǎng)為 l 的非均勻細(xì)直棒質(zhì)量的積分表達(dá)式， 任一點(diǎn)的線密度是長(zhǎng)度的函數(shù)。 解 :建立坐標(biāo)如圖 , o x l x x+dx 設(shè)任意點(diǎn) x的密度為 )(x?step1. ?],[ ?? dMdxxx 則取微元step2. dxx)l??0 (M ?質(zhì)量 下面用微元法討論定積分在幾何，物理中的 一些應(yīng)用。 微元法 (Element Method) dxx )(??變量！關(guān)鍵 )( x? Cx ?? )(2022/8/26 8 第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積 二、體積 三、平面曲線的弧長(zhǎng) 2022/8/26 9 平面圖形的面積 一、直角坐標(biāo)系情形 二、極坐標(biāo)系情形 三、小結(jié) 思考題 2022/8/26 10 xyo)( xfy ?a b xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b曲邊梯形的面積 dxxfdA )(?由 y=f1(x)和 y=f2(x)圍成的面積 : dxxfxfdA )]()([ 12 ??一、直角坐標(biāo)系情形 ?? ba dxxfA )(x xxx ?? xx ??? ?? ba dxxfxfA )]()([ 122022/8/26 11 例 1 計(jì)算由兩條拋物線 xy ?2 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 )1,1(),0,0(3) 面積元素 ?dA2) 選 x為積分變量 , ]1,0[?x則dxxxA )( 210 ?? ?10333223?????? ?? xx.31?2xy ?2yx ?解方程組 ???????22xyxy即這兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)為： x x+dx dxyy )( 下上 ?1) 求出兩拋物線的交點(diǎn) . 1,0 ??? xx)1,1(dxxx )( 2??12022/8/26 12 討論： 由左右兩條曲線 x?j左 (y)與 x?j右 (y)及上下兩條直線 y?d與 y?c所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？ 提示： 面積為 面積元素 ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj ? dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上 ? ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj ? dA=[j右 (y)?j左 (y)]dy, 選積分變量 , 2022/8/26 13 例 2 計(jì)算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 . 2022/8/26 14 例 2 計(jì)算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 . 解 兩曲線的交點(diǎn) ).4,8(),2,2( ????????422xyxy選 為積分變量 y ]4,2[??y?dA .18)24(422???? ??dyyyAxy 22?4??xyxy 22 ?4?? xyy+dy y dyyy ??????????2422022/8/26 15 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytx?j曲邊梯形的面積 （其中 1t 和 2t 對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值） 在 [ 1t , 2t ]（或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx j? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty ?? 連續(xù) . ?? ?? baba y d xdxxfA )(.)()(21?j ??? ttdttt?? ba y d xA2022/8/26 16 例 3 求橢圓 12222?? byax 的面積 . 解 橢圓的 參數(shù)方程 ?????tbytaxs i nc o s由對(duì)稱性知總面積等于 4倍第一象限部分面積． ?? a y d xA 04 ??? 02 )c o s(s i n4 tatdbdttab ? ?? 20 2si n4 .ab??2022/8/26 17 ? ? +d? . dA . r =j(? ) o . r ? d? 二、極坐標(biāo)系情形 曲邊扇形是由曲線 r?j(?)及射線???, ???所 圍成的圖形 ? 圖形是曲邊 扇 (梯 )形 如何化不規(guī)則 為規(guī)則 以圓扇形面積近似小曲邊扇形的面積，得到面積元素： ? 2022/8/26 18 ? ? +d? . dA . r =j(? ) o . r ? d? ],[ ????積分變量面積元素 以圓扇形面積近似小
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