【正文】 全長 . 解 星形線的參數方程為 ?????taytax33si nc o s)20( ??? t根據對稱性 14ss ?? ? ? ? dtyxs ? ???? 20224? dttta??? 20c o ss i n34.6a?第一象限部分的弧長 dttts ? ???? ???j )()( 22a? aoyx2022/8/26 53 曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?其中 )( ?r 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導數 . ?????????s in)(c o s)(ryrx?)( ??? ??22 )()( dydxds ??? ,)()( 22 ??? drr ??弧長 .)()( 22 ????? drrs ? ???四、極坐標情形 2022/8/26 54 例 3 求阿基米德螺線 ?ar ? )0( ?a 上相應于? 從 0 到 ?2 的弧長 . 解 ,ar ???????? drrs ? ???? )()( 22? ?.)412l n (4122 22 ????????? a? ?? 20 ?? daa 222 ?? ?? 20a ?? d12 ??????drrs ? ??? )()( 22分部積分法 2022/8/26 55 例 4 求極坐標系下曲線33s i n ??????? ?ar的長 . )0( ?a解 ????? drrs ? ???? )()( 22313c o s3s in32?????????? ??ar? ,3c o s3s i n 2 ?? ???????? a.23 a?????? daa242623co s3si n3si n ???????????????????? ?? 30?? d23si n ??????? ?? 30a???0( )3??????drrs ? ??? )()( 222022/8/26 56 直角坐標系下 參數方程情形下 極坐標系下 五、求弧長的公式小結： dxys ba? ??? 21????? drrs ? ??? )()( 22dttts ? ???? ?? ?j )()( 22xoya b)( xfy ???? ?? )( )( ty tx ?j2022/8/26 57 第三節(jié) 定積分的物理應用 一、變力、變距離作功 二、水壓力 三、引力 四、小結 2022/8/26 58 題一、變力沿直線做功問前提： 設物體 F 在恒力F的作用下， ,ba 運行到點從點設夾角 , ?為?則所作的功為?W F )( ab ???cos?問題： F 若 為變力？bao x?dxx?)(xF?x用元素法 .],[ 功微元里，近似于恒力做在 dxxx ??dW )( xF ?cos? dx?2022/8/26 59 1例 q?帶 電荷量 的點電荷，?q?對周圍 的電荷產生作用力， 與其 處距離 a 有一個 單位正電荷，將其 推至 處，距離 b ? ? ? ? ? ?求所作的功解ro?r ],[ ba?a ?br?1? ? drr??dW k 2rq dr??W ?ba dW ?? ba k 2rq drbar??????? 1kq? ?????? ?? bakq 11建立坐標軸如上圖所示 , 取 r 為積分變量，提示： 根據物理學 , 在電量為 +q的點電荷所產生的電場中 , 距離點電荷 r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為： 2rqkF ? ( k 是常數 ) ? 2022/8/26 60 問題： 物體在變力 F(x)的作用下，從 x軸上 a點移動到 b點， 求變力所做的功。 ??? R yySV )d(2022/8/26 44 h R x o x A(x) A(x) yh ???? ?? xRhV = ??RR xxA d )(. ? ?? R xxRh 0 22 d 2θθhRπdco s2 2022 ?? hR ???? ?. –R y . 例 6：求以半徑為 R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為 h的正劈錐體的體積。 2022/8/26 43 o y R x –R R 方法 2 A B C D ? BC ?t a n?? ??? yRyDC 222 yR ??. . ? ?? R yαyRy0 22 d t a n2?tan???? R?? ?? )d( yySV. 截面積 S(y) (x, y) = 2x = ytan? . S(y) . 半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。 . ? ?? R xxR0 22 d) t a n(21 2 ?2022/8/26 42 o y R x –R R 方法 2 . 半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。 .2 abc ?? ?2022/8/26 36 例 5 求擺線 )s i n( ttax ?? ， )c o s1( tay ?? 的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉構成旋轉體的體積 . 解 繞 x 軸旋轉的旋轉體體積?xV? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata? ? ????? 20 323 )coscos3cos31( dtttta .5 32 a??a?2a?)(xydxxya )(220???2022/8/26 37 繞 y 軸旋轉的旋轉體體積可看作平面圖 O A B C 與 O B C 分別繞 y 軸旋轉構成旋轉體的體積之差 . oyxa?2ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ??????tttax0)s i n(??????????20,)c os1()s i n(ttaxttax??????2)s i n(tttax2022/8/26 38 繞 y 軸旋轉的旋轉體體積可看作平面圖 O A B C 與 O B C 分別繞 y 軸旋轉構成旋轉體的體積之差 . dyyxV ay )(220 2?? ? dyyxa )(220 1?? ?oyxa?2ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ?? ?? ???? 2 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ???? 0 22 s i n)s i n( t d tatta? ??? ?? 20 23 s i n)s i n( t d ttta .633 a??2022/8/26 39 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . 二、已知截面面積的立體的體積 2022/8/26 40 x A(x) dV=A(x)dx x 已知平行截面面積為 A(x)的立體 ?? ba xxAV d)(. a V 平行截面面積為已知的立體的體積 b 2022/8/26 41 o y R x x y 22 xR ????