數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性模型-文庫吧
2025-07-17 12:12 本頁面
【正文】 Nxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時(shí) )(),( 21 txtxt ?? (平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(l i m 022 xtxt ???模型 福 州 大 學(xué) 20 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 —— 直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd et)(00212??平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 且 q 0 平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 21 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點(diǎn)：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當(dāng) ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時(shí)， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????福 州 大 學(xué) 22 ????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,de t,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 福 州 大 學(xué) 23 種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點(diǎn) )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn) P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn) ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 福 州 大 學(xué) 24 221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx??????????12 /?N21 /?N 1N2N1P?1x2x0 0??0??S1 S2 S3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??0,0:1 ?? ??S從任意點(diǎn)出發(fā) (t=0)的相軌線都趨向 P1(N1,0) (t??) P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn) 0,0: 212 ?? xxS ??0,0: 211 ?? xxS ??(1) ?21, ?11 t ? ? x1, x2 ? 0,0: 213 ?? xxS ??t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2? 福 州 大 學(xué) 25 P1 P2 有相軌線趨向 P1 有相軌線趨向 P2 P1穩(wěn)定的條件：直接法 ?21 P1, P2都不(局部 )穩(wěn)定 1x2x12 /?N21 /?N1N2N0 ?3P0??0??(3) ?11, ?21 12 /?N21 /?N1N2N ? 2P1x2x0 0??0??(2) ?11, ?21 1x2x12 /?N21 /?N 1N2N0 ? 3P0??0??(4) ?11, ?21 加上與 (4)相區(qū)別的 ?11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定 P1全局穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 26 結(jié)果解釋 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲 (相對于 N1)的 ?1 倍。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙小于甲?乙的競爭力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競爭力強(qiáng) 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 福 州 大 學(xué) 27 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。 2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。 3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。 福 州 大 學(xué) 28 ??????????111111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從 Logistic規(guī)律 。 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。 ? 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從 Logistic規(guī)律 )。 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 ?1 倍 221 Nx??甲為乙提供食物是乙消耗的 ?2 倍 ? ?1)( 222 ?? xrtx? ???????????112222 1)( Nxxrtx ?? ???????? ????22112222 1)( NxNxxrt ??福 州 大 學(xué) 29 種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn) 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 1,1 212 ?? ???1,1,12121???????平衡點(diǎn) p q)0,( 11 NP )1( 221 ?? ?rr )1( 221 ?? ?rr)0,0(3P21 rr ?? 21rr?????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP2121211)1)(1(???????rr2122111)1()1(??????? rr福 州 大 學(xué) 30 平衡點(diǎn) P2穩(wěn)定性的相軌線 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP),(1)( 2111221111111 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ???? ),(1)(212222112222 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ?????.0,0:。0,0:。0,0:。0,0:214213212211????????xxSxxSxxSxxS????????1x2x0 21 /?N 1N1S2S3S?2P0??0??4S ?11, ?21, ?1?21 P2穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 31 ?1?21 ~ ?21 前提下 P2存在的必要條件 結(jié)果解釋 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP?21 ~ 甲必須為乙提供足夠的食物 ——
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