【正文】 … … … … … 用數(shù)學軟件 MATLAB求 微分方程數(shù)值解 x~y 平面上的相軌線 福 州 大 學 36 計算結果（數(shù)值，圖形） x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖 (x,y)是封閉曲線 xayrtx )()( ??? ybxdty )()( ????觀察，猜測 x(t), y(t)的周期約為 xmax? , xmin ? 6, ymax ? , ymin ? 用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值約為 25, y(t)的平均值約為 10。 福 州 大 學 28 ??????????111111 1)( Nxxrtx?模型假設 ? 甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從 Logistic規(guī)律 。 福 州 大 學 18 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設 ? 有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 平衡點 klhglyklgkhx????????????00 ,2) 若 g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平。福 州 大 學 1 第六章 穩(wěn)定性模型 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 軍備競賽 種群的相互競爭 種群的相互依存 種群的弱肉強食 福 州 大 學 2 穩(wěn)定性模型 ? 對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 —— 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 t ? ?時的 x(t)， y(t) 福 州 大 學 12 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 P0(x0,y0)=(0,0) ~代數(shù)方程 00????dycxbyax 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m0xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點 ,)(l i m0ytyt ???記系數(shù)矩陣 ???????dcbaA 特征方程 0)d e t ( ?? IA ?????????????Aqdapqpd e t)(02 ?? 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????福 州 大 學 13 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點及其穩(wěn)定性 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????平衡點 P0(0,0) 微分方程一般解形式 tt ecec 2121?? ?平衡點 P0(0,0)穩(wěn)定 平衡點 P0(0,0)不穩(wěn)定 ?1,2為負數(shù)或有負實部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 福 州 大 學 14 klAqp????????????????de t0)(klhglyklgkhx????????????00 ,平衡點 穩(wěn)定性判斷 ???????????lkA系數(shù)矩陣 平衡點 (x0, y0)穩(wěn)定的條件 0,0 ?? qpkl?????????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 軍備競賽 福 州 大 學 15 模型的定性解釋 kl???雙方軍備穩(wěn)定 (時間充分長后趨向有限值 )的條件 1) 雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽 才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張。 ? 建立數(shù)學模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結局的條件。 3) 甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。 ? 模型的歷史背景 —— 一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降 (食用魚和鯊魚同時捕撈 )，但是其中 鯊魚的比例卻增加，為什么？ 福 州 大 學 33 食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t) 甲獨立生存的增長率 r rxx ??乙使甲的增長率減小，減小量與 y成正比 xayrtx )()( ???乙獨立生存的死亡率 d dyy ???甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比 ybxdty )()( ????方程 (1),(2) 無解析解 食餌 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食餌能力 b ~食餌供養(yǎng)捕食者能力 )1(a x yrx ??)2(b x ydy ???福 州 大 學 34 Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性 a x yrxxayrtx ???? )()(?b x ydyybxdty ?????? )()(?平衡點 ),/,/( arbdP穩(wěn)定性分析 ???????????bxdbyaxaxrA?????????drA P00P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析 p =0, q 0 P: 臨界狀態(tài) q 0 P180。 福 州 大 學 58 某甲體重 100千克，目前每周吸收 20200千卡熱量，體重維持不變。(( * 2,1)2( ??? xfb出現(xiàn) 4個收斂子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 )()4(4 kk xfx ??平衡點及其穩(wěn)定性需研究 ?? b 時有 4個穩(wěn)定平衡點 2n倍周期收斂 , n=1,2,… bn~ 2n倍周期收斂的上界 b0=3, b1=, b2=, … n??, bn? x1*, x2* (及 x*)不穩(wěn)定 b, 不存在任何收斂子序列 混沌現(xiàn)象 4倍周期收斂 福 州 大 學 74 )1(1 kkk xbxx ??? 的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象 b 福 州 大 學 75 按年齡分組的種群增長 ? 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 ? 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律 假設與建模 ? 種群按年齡大小等分為 n個年齡組，記 i=1,2,… , n ? 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記 k=1,2,… ? 以雌性個體數(shù)量為對象 ? 第 i 年齡組 1雌性個體在 1時段內的 繁殖率 為 bi ? 第 i 年齡組在 1時段內的死亡率為 di, 存活率 為 si=1 di 福 州 大 學 76 1,2,1),()1(1 ????? nikxskx iii ?假設 與 建模 xi(k)~時段 k第 i 年齡組的種群數(shù)量 )()1( kLxkx ??)0()( xLkx k?Tn kxkxkxkx )](),(),([)( 21 ??~按年齡組的分布向量 預測任意時段種群按年齡組的分布 ???????????????????????000000121121nnnsssbbbbL????~Leslie矩陣 (L矩陣 ) )()1(11 kxbkx inii????(設至少 1個 bi0) 福 州 大 學 77 穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識 nkk ?,3,2,1 ?? ??? L矩陣存在 正單特征根 ?1， ? 若 L矩陣存在 bi, bi+10, 則 nkk ,3,2,1 ??? ??)0()( xLkx k? 11 )],([ ?? Pd i a gPL n?? ?P的第 1列是 x* )0()0,0,1()(l i m 11xPP di agkx kk???? ??Tnnssssssx?????????11121212111* ,1?????特征向量 *1)(l i m cxkxkk ??? ?, c是由 bi, si, x(0)決定的常數(shù) 且 解釋 L對角化 11 )],([ ?? Pd i a gPL knkk ?? ?*cx?福 州 大 學 78 *)()1 xckx k??)()1()2 kxkx ???穩(wěn)態(tài)分析 —— k充分大種群按年齡組的分布 *1 )(l i m cxkx kk ??? ?~ 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布 , 與初始分布無關。 減肥計劃 3）給出達到目標后維持體重的方案。 ? 自然界存在的周期性平衡生態(tài)系統(tǒng)是結構穩(wěn)定的，即偏離周期軌道后，內部制約使系統(tǒng)恢復原狀。 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 ?1 倍 221 Nx??甲為乙提供食物是乙消耗的 ?2 倍 ? ?1)( 222 ?? xrtx? ???????????112222 1)( Nxxrtx ?? ???????? ????22112222 1)( NxNxxrt ??福 州 大 學 29 種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 1,1 212 ?? ???1,1,12121???????平衡點 p q)0,( 11 NP )1( 221 ?? ?rr )1( 221 ?? ?rr)0,0(3P21 rr ?? 21rr?????????????212