【正文】 badA P)0,0(P ?福 州 大 學(xué) 35 t x(t) y(t) 0 … … … … … … 用數(shù)學(xué)軟件 MATLAB求 微分方程數(shù)值解 x~y 平面上的相軌線 福 州 大 學(xué) 36 計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形） x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖 (x,y)是封閉曲線 xayrtx )()( ??? ybxdty )()( ????觀察，猜測(cè) x(t), y(t)的周期約為 xmax? , xmin ? 6, ymax ? , ymin ? 用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值約為 25, y(t)的平均值約為 10。 ~ 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， ?稱固有增長(zhǎng)率 ? ? Tnssssssx 121211* ,1 ?? ??)()1( kxkx ii ???)()1( kLxkx ??與基本模型 比較 3） ?=1時(shí) *)()1( cxkxkx ??? ~ 各年齡組 種群數(shù)量不變 福 州 大 學(xué) 79 ~ 1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為 1 1121121 ???? ?nn sssbsbb ??穩(wěn)態(tài)分析 Tnssssx ],1[ 1211*?? ?,)()4*ckx k??~存活率 si是同一時(shí)段的 xi+1與 xi之比 （與 si 的定義 比較） )()1(1 kxskx iii ???1,2,1),()(1 ???? nikxskx iii ?3） ?=1時(shí) ** xLx ? ? ?Tnssssssx 121211* ,1 ?? ?????????????????????????000000121121nnnsssbbbbL????。 1PP ?福 州 大 學(xué) 44 食餌 捕食者模型 (Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn) ???????? ??221111 1)( Nxxrtx ?????????? ???112222 1)( Nxxrtx ?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ????22112222 1)( NxNxxrtx ??xayrtx )()( ??? ybxdty )()( ????Volterra模型 改寫 多數(shù) 食餌 — 捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩 ,而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài) ,即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn) 加 Logistic項(xiàng) 有 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 福 州 大 學(xué) 45 ? 相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定 —— 一旦離開(kāi)某一條閉軌線，就進(jìn)入另一條閉軌線，不恢復(fù)原狀。 甲對(duì)乙有同樣的作用。 福 州 大 學(xué) 3 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā) —— 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福 州 大 學(xué) 17 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) ? 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。0,0:。 )19,2,1()( ????? nnwn19)40/25l g ( ??n福 州 大 學(xué) 63 )()( ?????? t????? 24, ?? tt ??? 即取運(yùn)動(dòng) ?t=24 (每周 跳舞 8小時(shí)或自行車 10小時(shí) ), 14周即可。 )( 00 xxyy kk ???? ?生產(chǎn)者管理水平提高 設(shè)供應(yīng)函數(shù)為 需求函數(shù)不變 ?,2,1,)1(22 012 ????? ?? kxxxx kkk ??????二階線性常系數(shù)差分方程 x0為平衡點(diǎn) 研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即 k??, xk?x0的條件 )(1 kk yhx ???????? ?? ?? 2 11 kkk yyhx福 州 大 學(xué) 55 48)( 22,1??????? ????012 )1(22 xxxx kkk ?????? ???? ??方程通解 kkk ccx 2211 ?? ??(c1, c2由初始條件確定 ) ?1, 2~特征根，即方程 的根 02 2 ??? ??? ? ??平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即 k??, xk?x0的條件 : 12,1 ??2???平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件 比原來(lái)的條件 放寬了 1???22,1??? ?模型的推廣 福 州 大 學(xué) 56 減肥計(jì)劃 —— 節(jié)食與運(yùn)動(dòng) 背景 ? 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 ? 通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo) 分析 ? 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 ? 飲食（吸收熱量）引起體重增加 ? 代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少 ? 體重指數(shù) BMI=w(kg)/l2(m2). BMI25 ~正常； BMI25 ~ 超重 。 11 ??對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲?乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 福 州 大 學(xué) 27 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 背景 福 州 大 學(xué) 4 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長(zhǎng)率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場(chǎng)魚量 福 州 大 學(xué) 5 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 —— 直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學(xué) 6 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場(chǎng)干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長(zhǎng)率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學(xué) 7 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點(diǎn) 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點(diǎn) P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半 福 州 大 學(xué) 8 cErEpNEESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚銷售價(jià)格 p ? 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用 c 單位時(shí)間利潤(rùn) 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點(diǎn) 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場(chǎng)魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學(xué) 9 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過(guò)度 ? 封閉式捕撈 追求利潤(rùn) R(E)最大 ? 開(kāi)放式捕撈 只求利潤(rùn) R(E) 0 cErEpNEESETER ????? )1()()()(R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度 (臨界強(qiáng)度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量 ?? cp ,捕撈過(guò)度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學(xué) 10 軍備競(jìng)賽 ? 描述雙方