【正文】 福 州 大 學(xué) 1 第六章 穩(wěn)定性模型 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 軍備競(jìng)賽 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) 種群的相互依存 種群的弱肉強(qiáng)食 福 州 大 學(xué) 2 穩(wěn)定性模型 ? 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過程的變化趨勢(shì) —— 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 福 州 大 學(xué) 3 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開發(fā) —— 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 問題及 分析 ? 在 捕撈量穩(wěn)定 的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 ? 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量， 漁場(chǎng)魚量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 背景 福 州 大 學(xué) 4 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長(zhǎng)率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場(chǎng)魚量 福 州 大 學(xué) 5 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 —— 直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學(xué) 6 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場(chǎng)干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長(zhǎng)率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學(xué) 7 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點(diǎn) 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點(diǎn) P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半 福 州 大 學(xué) 8 cErEpNEESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚銷售價(jià)格 p ? 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用 c 單位時(shí)間利潤(rùn) 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點(diǎn) 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場(chǎng)魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學(xué) 9 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過度 ? 封閉式捕撈 追求利潤(rùn) R(E)最大 ? 開放式捕撈 只求利潤(rùn) R(E) 0 cErEpNEESETER ????? )1()()()(R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度 (臨界強(qiáng)度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量 ?? cp ,捕撈過度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學(xué) 10 軍備競(jìng)賽 ? 描述雙方 (國(guó)家或國(guó)家集團(tuán) )軍備競(jìng)賽過程 ? 解釋 (預(yù)測(cè) )雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局 假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，每一方都存在增加軍備的潛力。 進(jìn)一步假設(shè) 1） 2）的作用為線性； 3）的作用為常數(shù) 目的 福 州 大 學(xué) 11 gkyxtx ???? ?)(?建模 軍備競(jìng)賽的結(jié)局 微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 x(t)~甲方軍備數(shù)量， y(t)~乙方軍備數(shù)量 hylxty ??? ?)(??, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 t ? ?時(shí)的 x(t)， y(t) 福 州 大 學(xué) 12 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) P0(x0,y0)=(0,0) ~代數(shù)方程 00????dycxbyax 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m0xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(l i m0ytyt ???記系數(shù)矩陣 ???????dcbaA 特征方程 0)d e t ( ?? IA ?????????????Aqdapqpd e t)(02 ?? 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????福 州 大 學(xué) 13 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????平衡點(diǎn) P0(0,0) 微分方程一般解形式 tt ecec 2121?? ?平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定 平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定 ?1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 14 klAqp????????????????de t0)(klhglyklgkhx????????????00 ,平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 ???????????lkA系數(shù)矩陣 平衡點(diǎn) (x0, y0)穩(wěn)定的條件 0,0 ?? qpkl?????????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 軍備競(jìng)賽 福 州 大 學(xué) 15 模型的定性解釋 kl???雙方軍備穩(wěn)定 (時(shí)間充分長(zhǎng)后趨向有限值 )的條件 1) 雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競(jìng)賽 才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無限擴(kuò)張。 平衡點(diǎn) klhglyklgkhx????????????00 ,2) 若 g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好鄰國(guó)通過裁軍可達(dá)到永久和平。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 福 州 大 學(xué) 16 3）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí) x(t), y(t)很小，但因 ，也會(huì)重整軍備。 0,0 ?? yx ??4）即使某時(shí)一方 (由于戰(zhàn)敗或協(xié)議 )軍備大減 , 如 x(t)=0， 也會(huì)因 使該方重整軍備， gkyx ??? 即存在互不信任 ( ) 或固有爭(zhēng)端 ( ) 的單方面裁軍不會(huì)持久。 0?k 0?g模型的定性解釋 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福 州 大 學(xué) 17 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) ? 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 ? 當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 ? 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。 福 州 大 學(xué) 18 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 甲對(duì)乙有同樣的作用。 對(duì)于消耗甲的資源而言，乙 (相對(duì)于 N2)是甲(相對(duì)于 N1) 的 ?1 倍。 11 ??對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲 乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 模型 221 Nx??福 州 大 學(xué) 19 模型分析 ???????? ???22111111 1)( Nx