控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(3)(已修改)
2025-01-26 01:52 本頁面
【正文】 自動(dòng)控制系統(tǒng) 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 宋瀟瀟 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 目錄 ? 控制系統(tǒng)的微分方程 ? 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ? 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 ?自動(dòng)控制理論以自動(dòng)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，無論是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析還是對(duì)校正裝置進(jìn)行綜合，都需要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 ?所謂數(shù)學(xué)模型是指能夠描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。工程系統(tǒng)一般都是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，時(shí)域內(nèi)連續(xù)時(shí)間集中參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是反映系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程。 ?以數(shù)學(xué)模型為依據(jù)控制系統(tǒng)可以被分類為連續(xù)系統(tǒng)和離散（時(shí)間）系統(tǒng)、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)等。 ?控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是惟一的，根據(jù)不同的建模目的可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，即使對(duì)于相同的建模目的也可以建立不同形式的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于工程上常見的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程和傳遞函數(shù)等。 控制系統(tǒng)的微分方程 ? 建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟 ?建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種 ? 實(shí)驗(yàn)法：通過實(shí)驗(yàn)對(duì)系統(tǒng)在已知輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，利用模型辨識(shí)方法，來建立反映輸入量和輸出量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。 ? 解析法：通過分析控制系統(tǒng)的工作原理，利用系統(tǒng)各組成部分所遵循的物理學(xué)基本定律來建立變量之間的關(guān)系式。 用解析法建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟： ?1)確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量； ?2)根據(jù)各環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的工作要求及其所遵循的基本客觀規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組； ?3)消除中間變量，并將方程標(biāo)準(zhǔn)化。 ?例 確定下圖中 RCL電路的微分方程。 ()iut()itLRC ()out解： (1)確定輸入和輸出量 (2)建立微分方程 (3)消除中間變量，使方程標(biāo)準(zhǔn)化，得到 這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。 () ( ) ( ) ( )oid i tL R i t u t u tdt ? ? ? dttduCti o )()( ?22( ) ( ) ( ) ( )oooid u t d u tL C R C u t u td t d t? ? ??例 確定力學(xué)系統(tǒng)的微分方程 K()Ft()ytfm?(1)確定輸入量和輸出量 ?(2)創(chuàng)建微分方程組： ?根據(jù)牛二定律得到 ?其中 ( ) ( ) ( )BKF t F t F t m a? ? ?()()Bdy tF t fdt?( ) ( )KF t K y t?22()d y tadt??(3)消除中間變量得到，使方程標(biāo)準(zhǔn)化。 ?該機(jī)械模型也是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。 22( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm f K y t F td t d t? ? ??兩個(gè)例題屬于 不同類型系統(tǒng)，但可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型，這些具有形式相同數(shù)學(xué)模型的相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，當(dāng)這些相似系統(tǒng)中相似的參數(shù)取同樣的數(shù)值、輸入變量具有相同的函數(shù)形式時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)輸出量的變化規(guī)律是相同的。我們將此類系統(tǒng)稱為 相似系統(tǒng)。 ?因此，利用相似系統(tǒng)的概念，可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)。相似系統(tǒng)的理論也是控制系統(tǒng)仿真研究法的依據(jù)。 ?練習(xí) 1：如圖 所示由質(zhì)量、彈簧和阻尼器構(gòu)成得機(jī)械位移系統(tǒng)。其中 m為物體的質(zhì)量， k為彈簧的彈性系數(shù)， f為阻尼器的阻尼系數(shù)。要求確定外力F(t)為輸入量，位移 y(t)為輸出量時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 f質(zhì)量 彈簧 阻尼器系統(tǒng) m kyF?解： ?根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出物體的受力平衡方程為 ?消去中間變量并將所得方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，有 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 kF ky?fdyFfdt?22() kfdyF t F F mdt? ? ?22d y d ym f k y Fd t d t? ? ? 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ?傳遞函數(shù)是線性定常連續(xù)系統(tǒng)最重要的數(shù)學(xué)模型之一，是數(shù)學(xué)模型在復(fù)頻域內(nèi)的表示形式。利用傳遞函數(shù)，不必求解微分方程就可以求取初始條件為零的系統(tǒng)在任意形式輸入信號(hào)作用下的的輸出響應(yīng)，還可以研究結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響。 ?經(jīng)典控制理論的主要研究方法 —— 根軌跡分析法和頻域分析法都是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的。 ? 傳遞函數(shù)的定義 ?傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 ?控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是時(shí)域內(nèi)的微分方程， n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為 10 1 1110 1 11d d d()d d dd d d()d d dnnnnnnmmmmmma a a a C st t tb b b b R st t t????????? ? ? ???????? ? ? ? ??????得到 10 1 110 1 1()()()mmmmnnnnb s b s b s bCsGsR s a s a s a s a????? ? ? ???? ? ? ??例 求解例 RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。 ?解：微分方程為： ?對(duì)其進(jìn)行拉氏變化，得到： ?則傳遞函數(shù)為： 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 22( ) ( ) ( ) ( )oooid u t d u tL C R C u t u td t d t? ? ?2 ( ) ( ) ( ) ( )o o o iL Cs U s R CsU s U s U s? ? ?2() 1()( ) 1oiUsGsU s LC s R C s?? ???傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)把輸入轉(zhuǎn)換為輸出的傳遞關(guān)系。 ?傳遞函數(shù)和微分方程可以相互轉(zhuǎn)換。 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 G ( s )C ( s )R ( s )?練習(xí) 2 將例 形式。 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 22( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm f K y t F td t d t? ? ??解：對(duì)其進(jìn)行拉氏變化，得到： ?則傳遞函數(shù)為： 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 2 ( ) ( ) ( ) ( )m s Y s fsY s KY s F s? ? ?2( ) 1()()YsGsF s m s fs K?? ???練習(xí) 3已知控制系統(tǒng)的微分方程為 ?求出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 )(18)(d d6)(2)(d d3)(d d 22trtrttytyttyt ?????解：在零初始條件下，對(duì)微分方程式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，可求得 ?故控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ： 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 )(18)(6)(2)(3)(2 sRssRsYssYsYs ????23)3(6)()()(2 ?????ssssRsYsG 傳遞函數(shù)的性質(zhì) ?1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s的有理真分式，只適用于線性定常系統(tǒng)。 ?2)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量。 ?3)傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的內(nèi)部固有動(dòng)態(tài)特性。 ?4)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的物理性
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