【正文】 衡點(diǎn) 1)( * ?? xfx*是 (2)和 (1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn) 補(bǔ)充知識(shí) 一階非線性差分方程 )1()(1 kk xfx ?? 的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 福 州 大 學(xué) 68 )21()( ** xbxf ???1)( * ?? xf0 yxxy ?)( xfy ?4/b*x 2/1 1 )1()( xbxxfx ???)1(1 kkk xbxx ??? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) bx11* ??穩(wěn)定性 31 ?? b2/1/11* ??? bx*xx k ?（單調(diào)增）0x1x1x 2xx* 穩(wěn)定 21)1( ?? b)1)((3 * ??? xfb x* 不 穩(wěn)定 另一平衡點(diǎn)為 x=0 1?? rb1)0( ??? bf不穩(wěn)定 b?? 2福 州 大 學(xué) 69 3)3( ?b0 1/2 1 y4/bxy?)(xfy ?0x 1x *x 2x x32)2( ?? b2/1/11* ??? bx*xxk ?（振蕩地）y0 xxy?)(xfy ?0x 1x 2x*x2/1 1 4/b*xxk ?（不）)1(1 kkk xbxx ??? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 福 州 大 學(xué) 70 )1(1 kkk xbxx ???初值 x0= 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 bx11* ??b 3, x? b=, x?兩個(gè)極限點(diǎn) b=, x?4個(gè)極限點(diǎn) b=, x?8個(gè)極限點(diǎn) 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 ? ? 3 2 1 0 b= k ? b= ? b= ? b= ? b= 福 州 大 學(xué) 71 ))(( xffx ?)(),( *1*2*2*1 xfxxfx ??bbbbx2321 2*2,1???? ?( * ))())(()( )2(12 kkkk xfxffxfx ??? ??)(1 kk xfx ??倍周期收斂 —— x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論 *xx k ?（不） *212*12 , xxxx kk ?? ?子序列單周期不收斂 2倍周期收斂 (*)的平衡點(diǎn) bx11* ??10 *2**1 ???? xxxx*不穩(wěn)定，研究 x1*, x2*的穩(wěn)定性 )1()( xbxxf ?? )]1(1)[1( xbxxbxb ??????b福 州 大 學(xué) 72 )()())(())(( *2*1)2()2( *2*1xfxfxfxf xxxx ?????? ??)21)(21())(( *2*12,)2( *2*1xxbxf xxx ???? ?1))(( * 2,1)2( ??xf倍周期收斂 *212*12 , xxxx kk ?? ? ??? ?b)21()( xbxf ???bbbbx2321 2*2,1???? ? 的穩(wěn)定性 2)2( )]([])([ xfxf ???x1* x2* x* b= y=f(2)(x) y=x x0 福 州 大 學(xué) 73 倍周期收斂 的進(jìn)一步討論 1))39。 1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。 BMI30 ~ 肥胖 . 福 州 大 學(xué) 57 模型假設(shè) 1）體重增加正比于吸收的熱量 —— 每 8000千卡增加體重 1千克； 2）代謝引起的體重減少正比于體重 —— 每周每公斤體重消耗 200千卡 ~ 320千卡 (因人而異 ), 相當(dāng)于 70千克的人每天消耗 2020千卡 ~ 3200千卡； 3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò) 千克，每周吸收熱量不要小于 10000千卡。 1PP ?福 州 大 學(xué) 44 食餌 捕食者模型 (Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn) ???????? ??221111 1)( Nxxrtx ?????????? ???112222 1)( Nxxrtx ?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ????22112222 1)( NxNxxrtx ??xayrtx )()( ??? ybxdty )()( ????Volterra模型 改寫(xiě) 多數(shù) 食餌 — 捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩 ,而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài) ,即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn) 加 Logistic項(xiàng) 有 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 福 州 大 學(xué) 45 ? 相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定 —— 一旦離開(kāi)某一條閉軌線，就進(jìn)入另一條閉軌線，不恢復(fù)原狀。0,0:214213212211????????xxSxxSxxSxxS????????1x2x0 21 /?N 1N1S2S3S?2P0??0??4S ?11, ?21, ?1?21 P2穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 31 ?1?21 ~ ?21 前提下 P2存在的必要條件 結(jié)果解釋 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP?21 ~ 甲必須為乙提供足夠的食物 ——甲為乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍 ?11 ~ ?21, ?1?21 的需要，且 ?1必須足夠小，才能在 ?21條件下使 ?1?21 成立 P2穩(wěn)定條件：?11, ?21, ?1?21 ???????? ???221111111 1)( NxNxxrtx ?? 甲可以獨(dú)自生存 ???????? ????22112222 1)( NxNxxrtx ??乙不能獨(dú)立生存 福 州 大 學(xué) 32 種群的弱肉強(qiáng)食(食餌 捕食者模型 ) ? 種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌 捕食者系統(tǒng)，如食用魚(yú)和鯊魚(yú)，美洲兔和山貓，害蟲(chóng)和益蟲(chóng)。 ? 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用 (服從 Logistic規(guī)律 )。 2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 甲對(duì)乙有同樣的作用。 ? 當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見(jiàn)的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 福 州 大 學(xué) 16 3）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí) x(t), y(t)很小，但因 ，也會(huì)重整軍備。 進(jìn)一步假設(shè) 1） 2）的作用為線性； 3）的作用為常數(shù) 目的 福 州 大 學(xué) 11 gkyxtx ???? ?)(?建模 軍備競(jìng)賽的結(jié)局 微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 x(t)~甲方軍備數(shù)量， y(t)~乙方軍備數(shù)量 hylxty ??? ?)(??, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 福 州 大 學(xué) 3 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā) —— 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 背景 福 州 大 學(xué) 4 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長(zhǎng)率 , N~最大魚(yú)量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場(chǎng)魚(yú)量 福 州 大 學(xué) 5 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 —— 直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學(xué) 6 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場(chǎng)干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長(zhǎng)率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學(xué) 7 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點(diǎn) 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/(