數(shù)學分析函數(shù)極限概念-全文預覽
【正文】 返回 后頁 前頁 為極限，時以當則稱 Axxf ??)(記為 ,)( ??? Axf定義 3 A ,)()( 內(nèi)的某個鄰域定義在設 ?? Uxf存在 當 ，0?M,0??.為一個常數(shù) 若對于任意xM? 時Axfx ??? )(lim 或 ).()( ??? xAxf返回 后頁 前頁 證 對于任意正數(shù) ),10( ?? ?? ,ln ???M取lnx ?當 時?這就是說 例 3 求證 l i m e ??? ?.e0e ???? xx.0elim ???? xx返回 后頁 前頁 例 4 求證 .01 1l i m 2 ???? xx22110,1 xx ?? ? ??所以結論成立 . ,1??M 有時當 ,Mx ?證 對于任意正數(shù) ? , 可取 返回 后頁 前頁 從定義 2 、 3 不難得到 : .)(lim)(lim Axfxf xx ?? ??????定理 ?定義在 則的一個鄰域內(nèi)，)(xfxx a r c t a nl i m??則由定理 ， .不存在Axfx ??? )(lim 的充要條件是： π πl(wèi)im a r c t a n , lim a r c t a n ,22xx xx? ? ? ? ? ?? ? ?例如 返回 后頁 前頁 二、 x趨于 x0 時的函數(shù)極限 設函數(shù) f (x) 在點 x0 的某空心鄰域 內(nèi)有定義 . )( 0xU ?,?數(shù) ,)(),( 0 時當 xUxUx ?? ?? ?,)( ??? Axf定義 4 )( xf設 內(nèi)有)( xU ?的某空心鄰域0x在點,?如果對于任意正數(shù)定義， .是一個常數(shù)A 存在正為極限的定義 . 下面我們直接給出函數(shù) f (x) 時以常數(shù) A 0xx ?當返回 后頁 前頁 或者 0l i m ( )xx f x A? ?.)()( 0xxAxf ??.)( 0 為極限時以當 Axxxf ?記為 則稱 例 5 證明 .22 11 21l i m1?? ??? xxx時 , 使 ,?對于任意正數(shù) ,0??要找到 ???? |1|0 x當分析 返回 后頁 前頁 1 2 1 1 11 2 2 1 2 2 2xx x?? ? ? ?? ??因 21 1,2 2 ( 1 2 )x xx? ????只要 式就能成立 , 故取 即可 . 1 , ( )x ?? ? ? ???證 ,?? ? 00 xx ?? ? ?當 時 ,?任給正數(shù) 取()? 212 1.2 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 2 )x xxx??? ?? ? ?? ? ? ?返回 后頁 前頁 這就證明了 ,122 11 21 ?????? ?? xxx.22 11 21l i m1?? ??? xxx返回 后頁 前頁 例 6 證明 .lim 2020xxxx ??,00202 ?????? xxxxxx可以先限制 因為 此時有 ,10 ?? xx0 0 0 0 022x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?故只要 所以 ,)21( 00202 xxxxx ????.2100 xxx ????要使 分析 01 2 ,x??返回 后頁 前頁 這就證明了 .202 ??? xx.lim 2020xxxx ??證 ,21,1mi n0 ???????? x??取???? 00 xx當,0??? 有 ,時返回 后頁 前頁 例 7 求證： 0 0( 1 ) l i m si n si n 。 2 函數(shù)極限的性質(zhì) 二、范例 一、 的基本性質(zhì) 為代表 敘述 性質(zhì) . 這里僅以 質(zhì)與證明，只要相應作一些修改即可 . 并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性 極限，它們都有類似于數(shù)列極限的一些 返回返回 后頁 前頁 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設 以及 Axfxx ?? )(lim 0 .)(l
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