數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無窮大量與無窮小量-全文預(yù)覽
【正文】 li m li m 1 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???解 因為 斷點是跳躍間斷點 . 連續(xù) . 既然它的左 、 右極限都存在 ， 那么這個間 返回 后頁 前頁 例 5 10 ( ) sinx f x x??試 問 是 函 數(shù) 的 哪 一 類 間 斷解 因為由歸結(jié)原理可知， 0011lim sin lim sinxxxx????與均不存在， 0 ( ) .x f x?所以 是 的一個第二類間斷點點？ 返回 后頁 前頁 三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I上的每一點都連續(xù) ,則稱 f 為 I )(, 為正整數(shù)nxycy n?? xy sin?例如 , 以及 21 xy ??都是 R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù) 是區(qū)間 1,1 ??? xx[1,1]上的連續(xù)函數(shù) ,在 處的連續(xù)分 別指右連續(xù)和左連續(xù) . 數(shù)在該點連續(xù)是指相應(yīng)的左連續(xù)或右連續(xù) . 上的連續(xù)函數(shù) .對于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點 ,函 返回 后頁 前頁 如果函數(shù) f 在 [a,b]上的不連續(xù)點都是第一類的 , : ( ) 0 .x D x x ?試 證 僅 在 處 連 續(xù)復(fù)習(xí)思考題 能要添加或改變某些分段點處的值 ). 是由若干個小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成 (當(dāng)然可 一個按段連續(xù)函數(shù) .從幾何上看 ,按段連續(xù)曲線就 并且不連續(xù)點只有有限個 ,那么稱 f 是 [a,b]上的 。0lims i nlim)1( 3030?????? xxxxxxxx.1l i ms i nl i m)2( ?????? xxxxxx返回 后頁 前頁 167。1|)(| 1 ?xf.)(lim ???? nn xf證 ，為無界量時因為 )(0 xfxx ?所以 ,0??G返回 后頁 前頁 。)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(l i m,)( )(l i m)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(l i m)()(l i m00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因為 所以 返回 后頁 前頁 定理 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子 例 1 .2si na r ct a nlim0 xxx ?計算.212l i m2s i na r c t a nl i m00???? xxxxxx解 ),0(2~2sin,~arcta n ?xxxxx因為 所以 (2) 可以類似地證明 . 可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法 . 返回 后頁 前頁 例 2 .si n si nta nlim 30 x xxx ??計算解 3030 sinta nlimsin sinta nlim x xxx xx xx ??? ??30)1c o s1(s i nl i mxxxx??? xxxxx co s)co s1(si nlim30???3202limxxxx??? .21?返回 后頁 前頁 有定義 , 若對于任給 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在 )( 0xU ?| ( ) | ,f x G?.)(l i m0??? xfxx)()。)0()(c os1 ??? xxox0()f x x x?當(dāng) 為 時的無窮小量時，我們記返回 后頁 前頁 2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域 )( 0xU ? 內(nèi)，有 ,)( )( Mxg xfL ??根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當(dāng) 0)( )(lim0???cxg xfxx時，這兩個無窮小量一定是同階的 . 例如 : ,0 時當(dāng) ?x xcos1 ? 與 2x 是同階無窮小量 。返回 后頁 前頁 二、無窮小量階的比較 167。)0()1(s i n ?? xox例如： 。)0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因為則稱若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價無窮小量，記作 也就是說，這里的 “ =” 類似于 .”“?返回 后頁 前頁 .0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么 這是因為 不是任何兩個無窮小量都可作階的比較 . 例如 返回 后頁 前頁 xxsin 與 21x 均為 ???x 時的無窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進行階的比較 . 這是因為 )(s i n1s i n2???? xxxxxx是一個無界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個非常有用的定理： 返回 后頁 前頁 定理 設(shè)函數(shù) f, g,
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