【正文】 量 。f x x在 點 無 定 義 或 者 在 點 的 極 限 不 存 在等于 f (x0). 0( ii ) ,fx在 點 有 定 義 且 極 限 存 在 但 極 限 值 卻 不根據(jù)上面的分析 , 我們對間斷點進行如下分類： 1. 可去間斷點 : 若 0li m ( ) ,xx f x A? ? 存 在0fx而 在 點0, ( ) ,f x A?無定義 或者有定義但 0xf則 稱 是 的一個可去間斷點 . 返回 后頁 前頁 2. 跳 躍 間 斷 點 ： 若,)(l i m0Axfxx ???0l i m ( )xx f x B?? ?0xf則稱點 為 的一個跳躍間斷,AB?都存在 但注 x0 是 f 的 跳躍間斷點與函數(shù) f 在點 x0 是 否有定 點 . 3. 第二類間斷點 : 若 f 在點 x0 的左、右極限至少 可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為 第一類間斷 點 . 義 無關(guān) . 0 .xf則 稱 是 的 一 個 第 二 類 間 斷 點有一個不存在 , 返回 后頁 前頁 證 因為 .一個可去間斷點例 3 處不連續(xù)，在 0?x??????0001)(xxxf試證函數(shù)0 ( )x f x? 是 的所以 并且 是 的一個可去間斷點 . 0x ? ()fx1xyO0l i m ( ) 1 ( 0 ) ,x f x f? ??返回 后頁 前頁 00( ) ( ) .A g x x F x?在 時 ， 恒 為 的 一 個 可 去 間 斷 點那么函數(shù)注 0( ) ,g x x x?對 于 任 意 函 數(shù) 若 它 在 處 連 續(xù) ，1. 00( ) ,(),g x x xFxA x x???? ??返回 后頁 前頁 0()f x x義 在 點 的 值 為),(lim0xfxx ? 那 么 它 就 在 點例 4 討論函數(shù) 1/1, 0,e1()00,x xfxx????? ?? ??在 x ? 0 處 是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的 x0是 的可去間斷點 ,那么只要重新定 ()fx x0 連續(xù) . 間斷點？ 返回 后頁 前頁 10011li m ( ) li m li m 0 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???所以 f (x) 在 x ? 0 處右連續(xù)而不 左連續(xù) ,從而不 10011li m ( ) li m li m 1 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???解 因為 斷點是跳躍間斷點 . 連續(xù) . 既然它的左 、 右極限都存在 ， 那么這個間 返回 后頁 前頁 例 5 10 ( ) sinx f x x??試 問 是 函 數(shù) 的 哪 一 類 間 斷解 因為由歸結(jié)原理可知， 0011lim sin lim sinxxxx????與均不存在， 0 ( ) .x f x?所以 是 的一個第二類間斷點點？ 返回 后頁 前頁 三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I上的每一點都連續(xù) ,則稱 f 為 I )(, 為正整數(shù)nxycy n?? xy sin?例如 , 以及 21 xy ??都是 R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù) 是區(qū)間 1,1 ??? xx[1,1]上的連續(xù)函數(shù) ,在 處的連續(xù)分 別指右連續(xù)和左連續(xù) . 數(shù)在該點連續(xù)是指相應的左連續(xù)或右連續(xù) . 上的連續(xù)函數(shù) .對于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點 ,函 返回 后頁 前頁 如果函數(shù) f 在 [a,b]上的不連續(xù)點都是第一類的 , : ( ) 0 .x D x x ?試 證 僅 在 處 連 續(xù)復習思考題 能要添加或改變某些分段點處的值 ). 是由若干個小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成 (當然可 一個按段連續(xù)函數(shù) .從幾何上看 ,按段連續(xù)曲線就 并且不連續(xù)點只有有限個 ,那么稱 f 是 [a,b]上的 。x xx ??為 時的無窮小量s in .xx ??為 時的有界量小量 . 返回 后頁 前頁 1. 兩個 (類型相同的 )無窮小量的和，差，積仍是 2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量 . 性質(zhì) 1可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到 . ? ? 所以因為的 ,0lim,00?? ? xfxx? 使得當存在 ,0??無窮小量 . 下面對性質(zhì)２加以證明 . 00 | | , | ( ) | ,1x x f x M??? ? ? ??時 從而0 0li m ( ) 0, | ( ) | , ( ) .xx f x g x M x U x? ? ? ?設(shè) 對于任意返回 后頁 前頁 0( ) ( ) .f x g x x x?這 就 證 明 了 是 時 的 無 窮 小 量例如 : 時為時的無窮小量，為 01si n0 ?? xxxx.01sin 時的無窮小量為的有界量，那么 ?xxx.01si nlimlim1si nlim000?????? xxxxxxx應當注意 , 下面運算的寫法是錯誤的： | ( ) ( ) | .f x g x ??返回 后頁 前頁 xxy1s i n?從幾何上看，曲線 在 近旁發(fā)生無 0?x限密集的振動，其振幅被兩條直線 xy ?? 所限制 . y O xxy?xxy1sin?xy ??返回 后頁 前頁 二、無窮小量階的比較 兩個相同類型的無窮小量，它們的