數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無窮大量與無窮小量(編輯修改稿)
2024-09-25 12:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ?因而 f (x)不是 x?? 時(shí)的無窮大量 . 有.0)(,)( ??? nn yfxf兩個(gè)無窮大量也可以定義階的比較 . 設(shè) .)(l i m)(l i m00??? ?? xgxf xxxx返回 后頁 前頁 的高階是關(guān)于則稱若 )()(,0)( )(0xfxgxg xfxx??無窮大量 . 使和正數(shù)若存在正數(shù) ,.2 ?KL,),( 0 時(shí)?xUx ??,)( )( Kxg xfL ??則稱 f (x) 與 g (x) 是當(dāng) x ? x0 時(shí)的一個(gè)同階無窮 大量 . 是與則稱若 )()(,1)( )(0xgxfxg xfxx??當(dāng) x ? x0 時(shí) 返回 后頁 前頁 的等價(jià)無窮大量， 記為.,)(~)( 0xxxgxf ?下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系 , 直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系 . 定理 (1) 若 f 為 x?x0 時(shí)的無窮小量 , 且不等于零 , 則 為f1 .0 時(shí)的無窮大量xx ?返回 后頁 前頁 證 這里僅證明定理的 (1) . 對(duì)于任意正數(shù) G , 因?yàn)? 有時(shí)當(dāng) ,||0 0 ???? xx,)(1,1|)(| GxfGxf ?? 即這就證明了 .)(1lim0??? xfxx時(shí)為則時(shí)的無窮大量為若 00 1,)2( xxgxxg ??的無窮小量 . f 為 x ? x0 時(shí)的無窮小量， 所以存在 ,0?? 使得 返回 后頁 前頁 .)()(lim0??? xgxfxx.2 |||)(| bxf ?又因?yàn)? ,)(l i m0??? xgxx 所以對(duì)于任意正數(shù) G，存在 ,||0,0 202 時(shí)當(dāng) ?? ???? xx.|| 2|)(| Gbxg ?證 由極限的保號(hào)性 , ,0)(lim0??? bxfxx因?yàn)? 存在有時(shí)當(dāng) ,||0 10 ???? xx,01 ??例 7 ,)(l im,0)(l im00???? ?? xgbxf xxxx設(shè) 求證 返回 后頁 前頁 有時(shí)當(dāng)令 ,||0,},m in { 021 ???? ???? xx,|| 22 |||)()(| GGbbxgxf ????.)()(lim0??? xgxfxx注 對(duì)于函數(shù) 有時(shí)當(dāng) ,0,1)(,)( ??? xxxgxxf.1)()(lim 0 ???? xgxfx這就說明了當(dāng) b = 0 時(shí)結(jié)論不一定成立 . 即 返回 后頁 前頁 例 8 存在證明時(shí)的無界量為設(shè) :.)( 0xxxf ?使得, 00 xxxx nn ??都存在,0?? ? 使得時(shí)當(dāng) ,||0, 0 ??? ??? xxx.|)(| Gxf ??,1||0,1,1 01111 時(shí)當(dāng)對(duì) ?????? xxxG ?。1|)(| 1 ?xf.)(lim ???? nn xf證 ，為無界量時(shí)因?yàn)?)(0 xfxx ?所以 ,0??G返回 后頁 前頁 。2|)(| 2 ?xf............。|)(| nxf n ?.)(lim ???? nx xf,21||0,21,2 02222 時(shí)當(dāng)對(duì) ?????? xxxG ?,1||0,1, 0 時(shí)當(dāng)對(duì) nxxxnnG nnnn ?????? ?由此得到一列 ，滿足 且 , 00 xxxx nn ??}{ nx............返回 后頁 前頁 注 例 8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取 法 , 對(duì)提高解題能力是有益處的 . 符合要求的點(diǎn)列的一種方法 . 熟練地掌握這種方 返回 后頁 前頁 四、漸近線 作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來討論曲線的漸 在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線的 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,12222?? byax它的漸近線方程為 .xaby ??xaby?xaby ??12222 ?? byaxo xy近線問題 . 返回 后頁 前頁 下面給出漸近線的一般定義 . 定義 4 設(shè) L 是一條直線 , 若曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) P 沿 曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) , 點(diǎn) P 與 L 的距離趨于零，則 稱直線 L 為曲線 C 的一條漸近線 (如圖 ). bkxy ???PNML )( xfy ?C xyO返回 后頁 前頁 .1)(|c o s||||| 2k bkxxfPMPN ? ????? ?由漸近線的定義， 或時(shí) (???x ????? xx ,01)(lim 2 ?? ????? kbkxxfx即時(shí)） ,0, ?PN首先 , 我們來看如何求曲線 的斜漸近線 . )( xfy ?如圖所示 , 設(shè)斜漸近線 L 的方程為 .bkxy ?? 曲 線上的動(dòng)點(diǎn) 至直線 L 的距離為 ),( yxP返回 后頁 前頁 從而 .])([l i m kxxfb x ?? ???又 xkxxfkxxfxx???????? ???????)(lim)(lim,0lim ????? xbx所以， .)(lim x xfkx ????返回 后頁 前頁 這樣就確定了斜漸近線的兩個(gè)參數(shù)： ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfbx ?? ???這是沿 x 軸正向的漸近線的方程 . 顯然沿 x 軸負(fù)向 ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfb x ?? ???
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