數(shù)學分析函數(shù)極限概念(編輯修改稿)
2024-09-25 12:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x??? ? ? ? ??這就證明了所需的結(jié)論 . 0202 | | ,1xxx???返回 后頁 前頁 在上面例 題中 , 需要注意以下幾點： , 我們強調(diào)其存在性 . 換句話說 , 對于 固定 1. 對于 ?的 ,? 不同的方法會得出不同的 ? , 不存在哪一個更 好的問題 . 數(shù) 都可以充當這個角色 . 3. 正數(shù) ? 是任意的 ,一旦給出 ,它就是確定的常數(shù) . , 那么比它 更小的正 是不惟一的 , 一旦求出了 ??.2返回 后頁 前頁 有時為了方便 ,需要讓 ? 小于某個正數(shù) . 一旦對這 為貴” . 當然也能滿足要求 . 所以我們有時戲稱 ? “ 以小 樣的 ? 能找到相應的 ? , 那么比它大的 ? , 這個 ? 返回 后頁 前頁 平面上以 y =A為中心線 , 寬為 的窄帶 , ?2 可 以找到 ,0?? 使得曲線段 ),(),( 0 ?xUxxfy ???4. 函數(shù)極限的幾何意義如圖 , 0,? ?任 給 對于 坐標 落在窄帶內(nèi) . ??? Ay Ay???? AyO xy??0x 0x ??0x返回 后頁 前頁 三、單側(cè)極限 ，時在考慮 )(lim0xfxx ?x 既可以從 x0 )( 0xx ?的左側(cè) 但在某些時 .)( 000 xxxx 趨向于的右側(cè)又可以從 ?定義 5 ,)),((),()( 00 有定義在設 ?? xUxUxf ?? ?? A 為常 數(shù) . 若對于任意正數(shù) ? , ,）（存在正數(shù) ??? ?在定義區(qū)間的端點和分段函數(shù)的分界點等 . 候 ,我們僅需 (僅能 )在 x0的某一側(cè)來考慮 , 比如函數(shù) 返回 后頁 前頁 | | ,f x A ???（）則稱 A 為函數(shù) f 當 00()x x x x????時的右 (左 ) .))(lim()(lim00AxfAxf xxxx ?? ?? ??右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限 , 為了方便起見， ).(lim)0(,)(lim)0(00 00xfxfxfxf xxxx ?? ?? ????時，有當 )0(0 00 ?? ?????? xxxx極限 ,記作 有時記 返回 后頁 前頁 例 7 討論函數(shù) .11 2 處的單側(cè)極限在 ??? xx解 因為 ,1|| ?x ),1(2)1()1(1 2 xxxx ??????.|01| 2 ???? x.01lim 21 ???? xx這就證明了.01l i m 21 ????? xx同理可證所以 有時當 ,11 ??? x? ,2,02??? ??? 取返回 后頁 前頁 由定義 ，我們不難得到： 注 試比較定理 與定理 180。. .)(l i m)(l i m00Axfxf xxxx ?? ?? ??）有定義，則（在設 0)( xUxf ?定理 180。 :)(l i m0的充要條件是Axfxx ??,1s g nl i m,1s g nl i m 00 ??? ?? ?? xx xx由于 xx s g nlim 0?所以不存在 . 返回 后頁 前頁 作為本節(jié)的結(jié)束 ,我們來介紹兩個特殊的函數(shù)極限 . 例 9 證明狄利克雷函數(shù) ??????無理數(shù)，有理數(shù)xxxD0,1)(證 00 1R , , .2xA ???對于任意的 以及任意實數(shù) 取處處無極限 . ,||0 0* ???? xx,QR,21||,0 * ???? xA 取若對于任意的 ?滿足 返回 后頁 前頁 .21|||)(| 0* ????? AAxD**01| | , Q , 0 | | ,2A x x x? ? ? ? ?若 取 滿 足 則?.21|1||)(| 0* ?????? AAxD這就證明了結(jié)論 . 則 返回 后頁 前頁 例 10 設黎曼 函數(shù) .1,0,0,1),(,1)(?????????無理數(shù)以及xqpqpxqxR00: ( 0, 1 ) , li m ( ) R x?? ? ?求證證 .10 ?? ??? NN ，使，取一正整數(shù)
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