數(shù)學分析函數(shù)極限概念-免費閱讀
【正文】 2 函數(shù)極限的性質 二、范例 一、 的基本性質 為代表 敘述 性質 . 這里僅以 質與證明，只要相應作一些修改即可 . 并證明這些性質，至于其它類型的性 極限，它們都有類似于數(shù)列極限的一些 返回返回 后頁 前頁 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設 以及 Axfxx ?? )(lim 0 .)(l i m 0 Bxfxx ??由極限的定義，對于任意的正數(shù) , 1?? 存在正數(shù),||0, 102 時當 ?? ??? xx(1) ,2|)(| ??? Axf,||0 20 時當 ???? xx)(lim0xfxx ? 存在 , 則此極限惟一 . 若 0l i m ( )xx f x A? ?的基本性質 一 、 返回 后頁 前頁 (2) 式均成立，所以 .|)(||)(||| ??????? BxfxfABA由 ? 的任意性，推得 A = B. 這就證明了極限是惟 ,||0,},m in { 021 時當令 ???? ???? xx(1) 式與 一的 . .2|)(| ??? Bxf (2) 返回 后頁 前頁 定理 （局部有界性） 證 時，當存在取 ??? ????? ||0,0,1 0xx.1|)(| ?? Axf.1|||)(| ?? Axf由此得 ,)(l i m0Axfxx ??若 上在 )()( 0xUxf ?,)( 0xU ?則存在有界 . 這就證明了 在 某個空心鄰域 上有界 . ),( 0 ?xU ?)(xf返回 后頁 前頁 注： (1) 試與數(shù)列極限的有界性定理（定理 ） 作一 (2) 有界函數(shù)不一定存在極限； 這上并不是有界的在但 .)2,0(1,11lim)3(1 xxx??說明定理中 “局部” 這兩個字是關鍵性的 . 比較； 返回 后頁 前頁 定理 （局部保號性） 若 ,)0(0)(l i m0???? 或Axfxx則對任何正數(shù) )( ArAr ??? 或 使得存在 ,)(, 0xU ?.)0)((0)( ????? rxfrxf 或.|)(| ??? Axf.)( rAxf ??? ?由此證得 有對一切 ,)( 0xUx ??有時，當存在 ?? ???? ||0,0 0xx證 不妨設 . 對于任何 取 ,rA ???0?A ( 0 , ),rA?返回 后頁 前頁 定理 （保不等式性） )(lim)(lim00xgxf xxxx ?? 與設則內有且在某鄰域都存在 ,)()()(, 0 xgxfxU ??).(lim)(lim00xgxf xxxx ?? ?證 那么對于任意設 ,)(l im,)(l im00BxgAxf xxxx ?? ??。xx xx? ?注 在例 例 6中 , 我們將所考慮的式子適當放大 , 不是“最佳”的 , 但這不影響我們解題的有效性 . 其目的就是為了更簡潔地求出 ? , 或許所求出的 ? 0 0( 2 ) l i m c os c os .xx xx? ?返回 后頁 前頁 證 首先，在 右圖所示的單位圓內 , π0,2x??當 時顯然有 即 ,O A BO A DO A D SSS ?? ?? 扇形,t a n2121s i n21 xxx ??故 πs i n t an 0 .2x x x x??? ? ? ?????O C D B A y x x 返回 后頁 前頁 .0 時成立上式中的等號僅在 ?xπ ,2x ?因 為 當 時 ,0,1s i n ??? xxx 故對一切R.,s i n ?? xxx.s in xx ? ,sin x 故均是奇函數(shù) ,x又因為有000si n si n 2 c os si n22x x x xxx ????對于任意正數(shù) ,?? ?取 ,0 0 時當 ???? xx,?0 ,xx ?? ? ?返回 后頁 前頁 .s i ns i nl i m 00xxxx ??同理可證 : .c o sc o slim 00xxxx ??所以返回 后頁 前頁 例
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