數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無(wú)窮大量與無(wú)窮小量-免費(fèi)閱讀
【正文】 1?k得xxx xxxf ????? 32)( 23,32 3222?????xxxx.2])([lim ???? ?? xxfb x得于是求得斜漸近線方程為 （如右圖所示）.2?? xy13?2?? xyO xy1?x3??x返回 后頁(yè) 前頁(yè) 復(fù)習(xí)思考題 、差與積是否仍是無(wú)窮大量 ? ? 。)0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因?yàn)閯t稱(chēng)若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時(shí)的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價(jià)無(wú)窮小量，記作 也就是說(shuō)，這里的 “ =” 類(lèi)似于 .”“?返回 后頁(yè) 前頁(yè) .0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無(wú)窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么 這是因?yàn)? 不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可作階的比較 . 例如 返回 后頁(yè) 前頁(yè) xxsin 與 21x 均為 ???x 時(shí)的無(wú)窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較 . 這是因?yàn)? )(s i n1s i n2???? xxxxxx是一個(gè)無(wú)界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個(gè)非常有用的定理： 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 設(shè)函數(shù) f, g, h 在 )( 0xU ? 內(nèi)有定義 , 且 .)()(~)( 0xxxgxf ?。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、無(wú)窮小量階的比較 167。)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(l i m,)( )(l i m)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(l i m)()(l i m00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因?yàn)?所以 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子 例 1 .2si na r ct a nlim0 xxx ?計(jì)算.212l i m2s i na r c t a nl i m00???? xxxxxx解 ),0(2~2sin,~arcta n ?xxxxx因?yàn)?所以 (2) 可以類(lèi)似地證明 . 可用等價(jià)無(wú)窮小量代替，這是一種很有用的方法 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 2 .si n si nta nlim 30 x xxx ??計(jì)算解 3030 sinta nlimsin sinta nlim x xxx xx xx ??? ??30)1c o s1(s i nl i mxxxx??? xxxxx co s)co s1(si nlim30???3202limxxxx??? .21?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 有定義 , 若對(duì)于任給 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在 )( 0xU ?| ( ) | ,f x G?.)(l i m0??? xfxx)()。0lims i nlim)1( 3030?????? xxxxxxxx.1l i ms i nl i m)2( ?????? xxxxxx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。|)(| nxf n ?.)(lim ???? nx xf,21||0,21,2 02222 時(shí)當(dāng)對(duì) ?????? xxxG ?,1||0,1, 0 時(shí)當(dāng)對(duì) nxxxnnG nnnn ?????? ?由此得到一列 ，滿(mǎn)足 且 , 00 xxxx nn ??}{ nx............返回 后頁(yè) 前頁(yè) 注 例 8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取 法 , 對(duì)提高解題能力是有益處的 . 符合要求的點(diǎn)列的一種方法 . 熟練地掌握這種方 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 四、漸近線 作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來(lái)討論曲線的漸 在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線的 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,12222?? byax它的漸近線方程為 .xaby ??xaby?xaby ??12222 ?? byaxo xy近線問(wèn)題 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 下面給出漸近線的一般定義 . 定義 4 設(shè) L 是一條直線 , 若曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) P 沿 曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) , 點(diǎn) P 與 L 的距離趨于零，則 稱(chēng)直線 L 為曲線 C 的一條漸近線 (如圖 ). bkxy ???PNML )( xfy ?C xyO返回 后頁(yè) 前頁(yè) .1)(|c o s||||| 2k bkxxfPMPN ? ????? ?由漸近線的定義， 或時(shí) (???x ????? xx ,01)(lim 2 ?? ????? kbkxxfx即時(shí)） ,0, ?PN首先 , 我們來(lái)看如何求曲線 的斜漸近線 . )( xfy ?如圖所示 , 設(shè)斜漸近線 L 的方程為
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