【正文】 也存在數(shù)列 , 就有式。[an,bn],n=1,2,L,由于H為閉區(qū)間[a,b]的一個(無限)開覆蓋,故存在(a,b)206。(a,b)},(海涅博雷爾(HeineBorel)有限覆蓋定理)設H為閉區(qū)間[a,b]的一個(無限)開覆蓋,則從H中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋[a,b].證 用反證法設定理的結論不成立,即不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋[a,b].將[a,b]等分為兩個子區(qū)間,[a1,b1],則[a1,b1]204。,存在{xn}的一個收斂子列(以x為極限). 數(shù)列{an}收斂的充要條件是: 對任給的e0,存在N0,使得對m,nN有 |aman|: [充分性] 先證{an}有界,由憶知條件取e=1,則存在正整數(shù)N, 則m=N+1及nN時有|anaN+1|1由此得|an|=|anaN+1+aN+1|1+|aN+1|.取M=max{|a1|,|a2|,L,|aN|,1+|aN+1|}則對一切的正整數(shù)n均有|an|163。bnan=M2n2b3a3=12(b2a2)=M2174。en)IS,且顯然xn與x1,L,xn1互LL得S中各項互異的數(shù)列{xn},且由由閉區(qū)間套定理可證聚點定理.|xnxn|en163。U(x,e)IS。162。Sn162。n174。12n1174。N有|aman|163。bn,n=1,2,由區(qū)間套的條件2得xx162。且由條件2有 limbn=lim(bnan+bn)=liman=x由單調有界定理的證明過程有an163。b,1\可設 liman=xn174。bn,n=1,2,{[an,bn]}是一個區(qū)間套, 所以a1163。 見[1] 見[1]、關于單調函數(shù)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)(略)，參閱[1]P17—19，Ex[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；第五篇：(數(shù)學分析教案)第七章第七章 實數(shù)的完備性(9學時)167。3246。,247。 y2163。0時,有f(x)=5x5x5x2x2+3=2x2+3163。求 f(5).(答案為8)[]ff(x+5), x : 例4 y=f(u)=u, u=g(x)= (fog)(x)=f[g(x).] ⑴f(1x)=x+x+1, f(x)=_______________.⑵f231。x2, 238。3 函數(shù)概念(2時):: [1]P10—: : : 一 一對應, :236。A, 222。S,有x206。B,都有x163。例1 ⑴S=237。),(165。0, 222。ni=1ai=n1229。H(ai)=230。nab.⑷.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.⑸.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: ⑺.兩實數(shù)相等的充要條件: a=b 219。9,i=1,2,L,n,an185。對概念不能有一點含糊,那是一個數(shù)學名詞的固定含義,，因為它不僅是大學數(shù)學系學生進校后首先面臨的一門重要課程，而且大學本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質上都可以看作是它的延伸、深化或應用,至于它的基本概念、思想和方法，：使學生獲得極限論、單多元微積分、級數(shù)論等方面的系統(tǒng)知識；為后繼數(shù)學專業(yè)課程（如微分方程、實變函數(shù)和復變函數(shù)、概率論、統(tǒng)計及有關的泛函分析、微分幾何等選修課程）及普通物理課程等提供所需的基礎理論和知識；提高學生思維能力，開發(fā)學生智能，加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本技能）(另一門是高等代數(shù)).三、課堂講授方法:: , 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析(上下冊)(第三版)，高等教育出版社，.[2] 數(shù)學分析講義(上下冊)(第三版).劉玉璉 ，2001.[3] 數(shù)學分析新講（一、二、三冊).，1991.[4] 微積分學教程(共八冊).，1978.[5] ，1996.[6] ，2002.[7] 數(shù)學分析習題集題解(共六冊).，山東科技出版社，[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[2]、[3], ,[1]中第十九和二十三等兩章, ,課時緊:大學課堂教學與中學不同的是,這里每次課介紹的內容很多,因此,內容重復的次數(shù)少,講課只注重思想性與基本思路,具體內容或推導,特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算,可能講得很簡,:概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、,具有代表性的證明方法,、二章教學中,可能會寫出某些定理證明,、要求、輔導及考試：:盡快適應大學的學習方法,:3(國外這個比例通常是1: 4)對將來從事數(shù)學教學工作的師范大學本科生來說,課堂聽講的內容應該更為豐富:要認真評價教師的課堂教學,:作業(yè)以[1]的練習題中劃線以上的部分習題為主要內容,同時可參考[7]與[1], 要有作業(yè)封面, 180。+3247。).于是 2232。令 x=230。R, 總有 f(x)163。=x+(x)=()x248。 1,236。f(x)=237。 infS是A的下界, 222。B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x179。 y206。253。)等都是無界數(shù)集，236。(1+x)n+n1=(1+x)n+1+1+L+1 n n(1+x)n=n(1+x).222。i=1aii=1ai有平均值不等式:H(ai)163。n=231。 e0, ab ::: 定義 a =max{a , a }.[1]P2 :⑴ a2+b2179。b=設a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k，則ab=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j+(a1b2a2b1)b表示成一個三階行列式的形式，計算時，i j k ab= a1 a2 b2 b3講解例6（師生共同完成，加深學生對叉積的坐標表示公式的記憶，讓學生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學生解題步驟，培養(yǎng)科學的學習方法與態(tài)度）講解例8(師生共同完成，訓練學生解決實際問題的能力)三、課堂練習（15分鐘）教材174頁思考題1—3題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度.）四、內容小結（4分鐘）（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納，訓練學生總結數(shù)學思想的能力，并在學習中注意這些數(shù)學思想的應用.）（一）向量的點積定義、坐標表示；（二）向量的叉積定義、布置作業(yè)(2分鐘)、8題 第三篇：《數(shù)學分析》教案《數(shù)學分析》教案S F 01(數(shù))C h0 數(shù)學分析課程簡介C h 1 實數(shù)集與函數(shù)計劃課時： Ch 02時Ch 16時P 1—8說 明：1．這是給數(shù)學系2001屆學生講授《數(shù)學分析》, 總課時為1 8 0 學時, 是少課時型教案（后來又開設了一學期，增加了8 0 學時）.按照學分制的要求, 7 9頁，分2 : [1] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析，高等教育出版社，1996；[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學分析習題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999； [5] , Principles of mathematical analysis, 0數(shù)學分析課程簡介(2 時)(mathematical analysis)簡介:: 從切線、面積、計算sin32o、(limit)—— 變量數(shù)學的基本運算：：數(shù)學分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), (calculus)的區(qū)別..二． 數(shù)學分析的形成過程：1． 孕育于古希臘時期： 在我國，, Archimedes ,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期: 3． 十七世紀下半葉到十九時紀上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期: 參閱《數(shù)學分析選講》講稿(.) —— 分析學理論的完善和重建時期：參閱 《數(shù)學分析選講》講稿第三講P72—:邏輯性很強, 很細致, 很深刻。b=a1b1+a2b2+a3b3.（由學生自行得出點積的坐標表示公式，進一步加深對向量點積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b219。b=“點積”或“內積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確理解向量的點積的定義.）向量的點積還滿足下列運算律: 交換律：aa1=b1,a2=b2,a3=b3（5）a∥b219。八、作業(yè)：P305 3，4。八、作業(yè)：P305 1，2課時教學計劃（教案224）課題：167。第二型曲面積分的計算。八、作業(yè)：P278總練習題15min，投影、圖示與黑板講解）（約80min，投影、圖示與黑板講解）（約5min，黑板講解）（約課時教學計劃（教案221）課題：167。五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學過程：l無界區(qū)域上的二重積分（約10min，圖示與黑板講解）l l l l ，（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解（約15min，圖示與黑板講解），（約15min，圖示與黑板講解）（約15min，圖示與黑板講解）七、課程小結：（約5min，黑板講解）曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。課時教學計劃（教案218）課題：167。課時教學計劃（教案216）課題：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換習題課一、教學目的：、曲線積分與路線的無關性及積分變換；鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換的計算方法。15min，投影、圖示與黑板講解）（約25min，圖示與黑板講解）（約30min，圖示與黑板講解）（約20min，黑板講解）（約5min，黑板講解）（約課時教學計劃（教案215）課題：167。213格林公式、曲線積分與路線的無關性一、教學目的：；。二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。三、教學難點：。l平面圖形的面積（約40min，投影、圖示與黑板講解）1．平面圖形面積的定義；2．平面圖形可求面積的充分必要條件；l二重積分的定義及其存在性 二重積分的定義；二重積分存在的充分條件和必要條件。第一篇：數(shù)學分析教案《數(shù)學分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學時）課時教學計劃（教案211）課題：167。二重積分的性質（約25min，圖示與黑板講解）結合二重積分的定義講解二重積分的7條性質。四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。三、教學難點：直角坐標系下二重積分的計算方法。二、教學重點：格林公式的理解和方法。214二重積分的變量變換一、教學目的：；。二、教學重點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換三、教學難點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。216 重積分的應用一、教學目的：； 了解重積分在重心的應用； 了解重積分在轉動慣量的應用。八、作業(yè)：P272 1，2，3。221第一型曲面積分一、教學目的：。二、教學重點：第二型曲面積分計算三、教學難點：第二型曲面積分計算四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。223高斯公式與斯托克斯公式一、教學目的： 掌握斯托克斯公式二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。第二篇：數(shù)學分析 教案第九章空間解析幾何教學目標：1．理解空間直角坐標系的概念,．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、．理解向量的加法、數(shù)乘、．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數(shù)乘、．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標準方程）、參數(shù)方程，．理解曲面及其方程的關系，知道球面、柱面和旋轉曲面的概念，掌握球面、以坐標軸為旋轉軸、．了解空間曲線及其方程，．了解橢球面