【正文】 u k t? ?( ii i ) s in .u k t? ?( i ) t a n 。xxx ?2( 7 ) s e c d d ( t a n ) 。 1 不定積分概念與 基本積分公式 一、原函數(shù) 不定積分是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算 . 四、基本積分表 三、不定積分的幾何意義 二、不定積分 微分運(yùn)算的逆運(yùn)算是由已知函數(shù) f (x), 求函數(shù) F(x), 一、原函數(shù) 使s t s t v t( ) , ( ) ( ) .? ?使例如 v t s t( ) , ( ) .已知速度函數(shù) 求路程函數(shù) 即求, ( ) ,kx又 如 已 知 曲 線 在 每 一 點(diǎn) 處 的 切 線 斜 率 求( ) , ( ) ,f x y f x?使 的 圖 象 正 是 該 曲 線 即 使 得( ) ( ) .f x k x? ?( ) ( ) .F x f x? ?定義 1 f F I設(shè)函數(shù) 與 在區(qū)間 上都有定義, 若f F I .則稱 為 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)F x f x( ) ( )? ? ，,xI?3 2( i i ) 3x x是 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) :x x3 2 .3????????例 1 s t v t( i ) ( ) ( )路程函數(shù) 是速度函數(shù) 的一個(gè)原函).()( tvts ??數(shù) : xxx221( i i i ) l n ( 1 )1???是 的一個(gè)原函數(shù):? ?2 21l n ( 1 ) .1xx x?? ? ? ?從 (iii) (iv)可以看出 , 盡管象 ? ?221( iv ) 1 a r c sin 1 :2 x x x x? ? ?是 的 一 個(gè) 原 函 數(shù)? ?221 1 ar c sin 1 .2 x x x x???? ? ? ?????221 11 xx ?? 和研究原函數(shù)有兩個(gè)重要的問題 : 1. 滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù) ? 如果存 2. 若已知某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 , 如何把它求出 這種形式簡單的函數(shù) ,要求出它們的原函數(shù)也不是 一件容易的事 . 在原函數(shù) ,它是否惟一 ? 來 ? 第一個(gè)問題由以下定理回答 . 定理 (原函數(shù)存在性定理 ) f I f I,若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) 則 在 上存在原函( ) ( ) .F x f x? ?在第九章中將證明此定理 . 數(shù) F, 即 定理 (原函數(shù)族的結(jié)構(gòu)性定理 ) ( ) ( ) ,F x f x I設(shè) 是 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù) 則( i ) ( ) ( ) ,F x C f x I C也是 在 上的原函數(shù) 其中?(ii) f (x) 在 I 上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間 , 只可能相差 .為任意常數(shù)一個(gè)常數(shù) . 證 ( i ) ( ( ) ) ( ) ( ) , ( )F x C F x f x F x C由知 ??? ? ? ?( ) .f x I也是 在 上的原函數(shù)(ii) 設(shè) F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意兩個(gè)原 )()())()(( xGxFxGxF ??????由第六章拉格朗日中值定理的推論 , 即知 ??F x G x C( ) ( ) .( ) ( ) 0 .f x f x???函數(shù) , 則 ? f x x( ) d ,二、不定積分 定義 2 f I f函數(shù) 在區(qū)間 上的全體原函數(shù)稱為在 I 上的 不定積分 , 記作, ( ) ,x f x其 中 稱 為 積 分 變 量 為 被 積 函 數(shù)( ) d .f x x ?為 積 分 表 達(dá) 式 , 為 積 分 號(hào)( ) ( ) , 8 . 2 ,F x f x若 是 的一個(gè)原函數(shù) 則由定理? ?( ) d ( ) R .f x x F x C C? ? ??( ( ) ( ) ) .F x f x? ?積分常數(shù) 積分號(hào) 被積函數(shù) CxFdxxf ??? )()(被積表達(dá)式 積分變量 為方便起見 , 我們記 ( ) d ( ) .f x x F x C??? 其 中由此 , 從例 1(ii) (iii) (iv)可得 : ??? x x x C231d,322d l n ( 1 ) ,1x x x Cx? ? ? ???? ?22 11 d 1 a r c sin .2x x x x x C? ? ? ? ??.C 為 任 意 常 數(shù)由不定積分定義 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) .1. orf x d x f x d f x d x f x d x? ????( ) ( ) ( ) ( ) .2. orf x d x f x C d f x f x C? ? ? ? ???若 F (x)是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù) , 則稱 y = F (x) 的圖 所有的積分曲線 都是 三、不定積分的幾何意義 ()y F x C??00( , )xy()y F x?xOy像是 f (x) 的一條 積分曲線 . 到的 . 沿縱軸 方向平移而得 由其中一條 積分曲線 例如 , 質(zhì)點(diǎn)以勻速 v0 運(yùn)動(dòng)時(shí) , 其路程函數(shù) 00( ) d .s t v t v t C? ? ??若 t0 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在 s0 處 , 且速度為 v0, 則有 0 0 0( ) ( ) .s t v t t s? ? ?的原函數(shù)正是在積分曲線中 00()F x y?滿 足 條 件),( 00 yx通過點(diǎn) 的那一條積分曲線 . 由基本求導(dǎo)公式可得以下基本積分公式 : 1. 0 d .xC??2. 1 d d .x x x C? ? ??? 13. d ( 1 , 0 ) .1xx x C x?? ???? ? ? ? ???14 . d ln | | .x x Cx ???5. e d e .xxxC???四、基本積分表 6. d .lnxx aa x Ca???7. c os d si n .x x x C???8. si n d c os .x x x C? ? ??29. se c d t an .x x x C???210. c sc d c ot .x x x C? ? ??11. se c t an d se c .x x x x C? ? ??12. c sc c ot d c sc .x x x x C? ? ? ??2d13. ar c si n ar c c os .1x x C x Cx? ? ? ? ???2d1 4 . a r c t a n a r c c o t .1x x C x Cx ? ? ? ? ???由導(dǎo)數(shù)線性運(yùn)算法則可得到不定積分的線性運(yùn)算 定理 (不定積分的線性運(yùn)算法則 ) 1 2 1 2( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .k f x k g x x k f x x k g x x? ? ?? ? ?上都存在原函數(shù) , k1, k2為 f g I若函數(shù) 與 在區(qū)間k f k g I12 ,? 在 上也存在原函數(shù) 且任意常數(shù) , 則 ? ?? ? ? ? ? ???nn nnaa ap x x x x x a x Cnn1201 1( ) d .12例 1 ,)( 1110 nnnn axaxaxaxp ????? ?? ?則 法則 . 例 2 ? ? ? ?????x x x xxx422212d ( 1 ) d11? ? ? ?x x x C31 2 a r c t a n .3例 3 ? xx2t an d ? ? ?x x Ct a n .??? xx2( sec 1 ) d?? ? ?? xx x22[ ( 10 ) ( 10 ) 2] d221 ( 1 0 1 0 ) 2 .2 ln 1 0xx xC?? ? ? ?例 4 ??? xx x2( 10 10 ) d ?? ? ?? xx x22( 10 10 2 ) d例 5 設(shè)曲線通過點(diǎn)（ 1， 2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程 . 解 設(shè)曲線方程為 ),( xfy ?根據(jù)題意知 ,2 xdxdy ?即 )( xf 是 x2 的一個(gè)原函數(shù) .,2 2? ?? Cxx d x? ,)( 2 Cxxf ???由曲線通過點(diǎn)（ 1， 2） ,1?? C所求曲線方程為 .12 ?? xy例 6 dxxxxx )16132c os4(22??????34 sin 2 l n | | 6 a r c ta n .x x x x x C? ? ? ? ? ?例 7 dxxxxdxxxxx??????3121233)1)((.76136)( 676136167Cxxdxxx ????? ?例 8 dxxeae xxx )1(2????21( ( ) )1xe a dxx????a r c c o s .1 l nxxeaxCa? ? ??() a r c si nl n( )xeaxCea? ? ?例 10 例 11 22212( 1 )x dxxx???22221( 1 )xx dxxx?????22111d x d xxx?? ???1 a r c ta n .xCx? ? ? ?11 c os 2 dxx?? 211 2 c o s 1 dxx? ???2112 c os dxx? ?1 ta n .2xC??例 9 dxxc t ge xx )10( 2??2( ( 1 0 ) c sc 1 )xe x d x? ? ?? 10 .1 l n 1 0xxec tg x x C? ? ? ??1 、 一個(gè)已知的函數(shù)，有 ______ 個(gè)原函數(shù)，其中任意兩個(gè)的差是一個(gè) ____ __ ； 2 、 )( xf的 ________ 稱為)( xf的不定積分； 3 、 把)( xf的一個(gè)原函數(shù))( xF的圖形叫做函數(shù))( xf的 ________ ，它的方程是)( xFy ?，這樣不定積 ? dxxf )(在幾何上就表示 ___ _____ ，它的方程是 CxFy ?? )(； 4 、 由)()(39。1x x x??????( 4 ) c o s d d( s in ) 。 . 一、 1 、 Cxxx ??? s inco s ； 2 、 Cxxx ??? 21a rcs i n ； 3 、 dxxx 2,ln ； 4 、 ,xe ? x d xco s ； 5 、 dxxx2,a r c t a n； 6 、 dxexx?,.二、 1 、 Cxxxxxx???? s inc o ss in21623； 2 、 Cxxxx????? ]6ln6)( ln3)[ ( ln123； 3 、 Cnxnnxanaeax???)s inc o s(22 4 、 Cxxex??? )22(333 23；練習(xí)題二答案 5 、 Cxxx?? )]s in( ln)[ c o s ( ln2； 6 、 Cexxx???a r c t a n2121； 7 、 Cexexexxxx???? 22.三、 Cxxx ??s in2c o s .作業(yè) 習(xí)題 3 167。c ax bx c xt c? ? ? ? ?若令2( c ) , ,a x b x c ????若 有兩個(gè)不同實(shí)根 令).(2 ????? xtcbxax.32d2? ?? xxx x求例 8 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u???? ? ? ???2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu ? ? ? ??? ? ?? ?????2d23xx x x???22 222t an221dd1 321t tttt tt?? ??? ?????2 arc t an33t C??21ar c t an ( t an ) .233 C???sin t a nt a n2 1 c o s se c 1? ? ???????由于? ?