【正文】 ??2 2 2 2d 1 d2( 1 ) 2 ( 1 ) 1t t tt t t??? ? ???由遞推公式 22 2 213d( 2 2 ) 2 ( 2 2 )xx x x x?? ?? ? ? ??于是 3 a r c t a n( 1 ) .2 xC? ? ?sin x, cos x 及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函 三、三角函數(shù)有理式的不定積分 t a n , ( sin , c o s ) d2xt R x x x? ?通 過 變 換 可 把 化 為有理函數(shù)的不定積分 . 把 ,122t a n12t a n22c o s2s i n2c o s2s i n2s i n2222 ttxxxxxxx??????數(shù) R (sin x, cos x) 稱為三角函數(shù)有理式 . ,112t a n12t a n12c o s2s i n2s i n2c o sc o s22222222ttxxxxxxx?????????22d d( 2 a r c t a n ) d1x t tt?? ?22 2 22 1 2( si n , c os ) d , d .1 1 1ttR x x x R tt t t?? ????? ? ?????代入原積分式，得到 d .1 sin c o sxxx求 ???例 3 t a n ,2xt ?令則解 d1 sin c o sxxx???22222d121111tttttt????????d l n 1 l n 1 t an .12tx t C Ct? ? ? ? ? ? ???22 2 22 2 2 d ( 1 2 ) 2 dd1 2 1 2 2 ( 1 )t t t ttt t t t t? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 1 2 1ln 1 2 ln2 2 1tt t Ct??? ? ? ? ???2 1 2 1 c osln 1 2 c os c os ln .2 2 1 c osxx x Cx??? ? ? ? ???22sin 2 sin c o sd 2 dsin 2 c o s sin 2 c o sx x xxxx x x x?????22c o s d2 d c o s 21 2 c o s c o s 1 2x t txx x t t?? ? ?? ? ? ???例 4 222 2 2 2 222d 1 se c dsi n c os t anx x xba x b x axa?? ???2 2 221 d ( t an ) 1ar c t an t ant anx a axCbbaa bxa??? ? ???????? ?????1 ar c t an t an .a xCab b???? ????.)0(,c oss i n d 2222? ?? abxbxa x求例 5 解 1. ( , ) d ( 0 )n ax bR x xc x d ad bc?? ??? 型 不 定 積 分,.n ax bt c x d?? ?令 可化為有理函數(shù)的積分四、某些無理函數(shù)的不定積分 .)2()1(d3 2? ?? xxx求例 6 解 由于 3 23 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ,2xx x xx???? ? ? ??? ???3233 3 21 1 2 9, , d d .2 1 ( 1 )x t tt x x tx tt??? ? ?? ??因 此 令 則323 2d 3 1 2dd1 1 1( 1 ) ( 2 )xtt t t txx???? ? ???? ? ? ?????? ? ?221 1 2 3 dln 1 d2 1 2 1324ttttttt?? ? ? ? ??? ??????????21 1 2l n 1 l n ( 1 ) 3 ar c t an2 3tt t t C?? ? ? ? ? ? ? ?3 33 ln 2 12 xx? ? ? ? ?.)1(d4 3? ? xxx求例 7 4 43dd.1( 1 )xxxxxxx?????解 3 323123 ar c t an .32xx Cx??? ? ??? ?????344 4 21 1 4 d, , d ,1 ( 1 )x t tt x xx t t??? ? ???設(shè) 則244d4d11xtttxxx??????22112d11 ttt???????????1l n 2 arc t an1t tCt?? ? ??444111ln 2 ar c t an .11xxxCxxx???? ? ???型不定積分 22. ( , ) dR x ax bx c x???22224( ) ,124b ac bax bx c a xaa?? ?? ? ? ? ?????由方 于法,44,2 222abackabxu ????若記2a x b x c??則 化為2 2 2 2 2 2( i ) ( ) , ( i i ) ( ) , ( i i i ) ( ) .a u k a u k a k u? ? ?或或時(shí)也可直接化為有理函數(shù)的不定積分 . 可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分 ,有 因此可分別設(shè)把它們轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的不定積分 . ( ii ) s e c 。 . 一、 1 、 Cxxx ??? s inco s ； 2 、 Cxxx ??? 21a rcs i n ； 3 、 dxxx 2,ln ； 4 、 ,xe ? x d xco s ； 5 、 dxxx2,a r c t a n； 6 、 dxexx?,.二、 1 、 Cxxxxxx???? s inc o ss in21623； 2 、 Cxxxx????? ]6ln6)( ln3)[ ( ln123； 3 、 Cnxnnxanaeax???)s inc o s(22 4 、 Cxxex??? )22(333 23；練習(xí)題二答案 5 、 Cxxx?? )]s in( ln)[ c o s ( ln2； 6 、 Cexxx???a r c t a n2121； 7 、 Cexexexxxx???? 22.三、 Cxxx ??s in2c o s .作業(yè) 習(xí)題 3 167。tan tax ?22)3( ax ?可令 .se c tax ?例 8 .)0(d22? ?? axxa求解 ?? πs in , | | ,2x a t t設(shè)22 d c os d ( sin )a x x a t a t????22c os da t t? ?2 ( 1 c os 2 ) d2a tt???222 1si n 2 ar c si n 12 2 2a a x x xt t C Ca a a??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 a r c si n .2xa x a x Ca??? ? ? ?????求 例 9 ??? 22d ( 0 ) .x aax解 ?? πt a n , | | .2x a t t設(shè)???? 22 2d se c dse cx a t tatax? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln? ? ? ?22l n ( ) .a x x C這里可借助輔助直角三 a22xa?xt角形 , 求出 sec t , tan t . 例 10 ).0(d 22 ??? aax x求解 πse c , 0 ,2x a t t? ? ?設(shè)22d se c t an dt anx a t t tatxa?????? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln22221ln ln ,x x a C x x a Caa?? ? ? ? ? ? ?其中 sec t 和 tan t 可借助輔助直角三角形求出 . axt22xa?例 11 ).0()( d 222 ??? aax x求解 πt a n , | | ,2x a t t??????2222 4 4d se c d() se cx at txa at? ?231 c o s dtta???31 ( 1 c o s 2 ) d2 ttaCttta ??? )c oss i n(2 1 3.a r c t a n2 1 223 Cax axaxa ??????? ???a22 ax ? xt三、分部積分法 定理 (分部積分法 ) 若 u(x)與 v(x)可導(dǎo) , 不定積分 ,d)()( 存在? ? xxvxu?? ( ) ( ) d ,u x v x x則 也存在 且.d)()()()(d)()( ?? ???? xxvxuxvxuxxvxu( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x由 ? ? ???證 或 .d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu ?? ????),()())()(()()( xvxuxvxuxvxu ????? 兩邊積分 ,得 1. 降冪法 等類型函數(shù)的不定積 s in , c o s , en n n xx x x x x在求例 12 .dc o s2? xxx求解 ? 2 c os dx x x? ? 2 d si nxx?? ?2 si n 2 si n dx x x x x?? ?2 si n 2 d c osx x x x? ? ? ?2 si n 2 c os 2 c os dx x x x x x.s i n2c os2s i n2 Cxxxxx ????分時(shí) ,可用分部積分法使 xn 逐次降冪 . 定積分時(shí) ,需要使用升冪法 . 例 13 3 l n d .x x x?解 ??? ? ???????4431ln d ( ln d )44xx x x x x?3 ln dx x x.)1ln4(164Cxx ???2. 升冪法 a r c t a n , l n , a r c s i nn n nx x x x x x求 等類型函數(shù)的不 類型的函數(shù)的不定積分時(shí) ,用分 e s in , e c o sxxxx求3. 循環(huán)法 例 14 1 e c os daxI bx x求和? ?2 e si n d .axI bx x? ?解 1 1 c o s d( e )axI b xa? ?1 ( e c o s e s in d )a x a xb x b b x xa?? ?21 ( e c o s ) ,ax b x b Ia?? (3) 解出方程加上常數(shù) C 即可得不定積分 . 部積分法兩次 ,循環(huán)得到含未知不定積分的方程 , (4)式代入 (3)式 ,得 21 sin d( e )axI b xa? ?1 ( e sin e c o s d )a x a xb x b b x xa?? ?1 22s in c o s b x a b xICab??????2 22s i n c os bx b bxab11 ( e sin ) .ax b x b Ia??(4) 111 [ e c o s ( e sin ) ] .a x a xbI b x b x b Iaa? ? ?整理后得到 同理 1I 的 另 一 種 求 法 是 :?? ?1 1 ( e c o s e s in d )a x a xI b x b b x xa?? ?1 ( e c o s s in de