【正文】 法 , 即 ? ? ? ???g x x x g x x G x C( ( ) ) ( ) d ( ( ) ) d ( ) ( ( ) ) ,? ? ? ? ?( 1 ) d d( ) 。a x a x? ( 2 ) d d( ) 。x x a??11( 3 ) d d( ) 。1x x x??????( 4 ) c o s d d( s in ) 。x x x???x x x( 5 ) s in d d( c o s ) 。1( 6 ) d d( ln ) 。xxx ?2( 7 ) s e c d d ( t a n ) 。x x x? 2d( 8 ) d( a r c t a n ) .1x xx ??常見的湊微分形式有 ? ?( ) ( ) .G u g u其 中例 1 ).0(d 22 ??? axa x求解 ?????????????????2221d1daxaxaxax21d1ua u? ??Cua ?? ar c t an1 .a r c t a n1 Caxa ??例 2 .lnd? xx x求解 d d( ln )ln lnxxx x x??? ln ln .xC??例 3 ).0(d 22 ??? aax x求解 ???? ??? ? ?????22d 1 1 1 d2x xx a a x a x a1 d( ) 1 d( )22x a x aa x a a x a??????11l n | | l n | |22 x a x a Caa? ? ? ? ?.ln21 Cax axa ????例 4 .d1 2 xxx? ?求解 ?? 21dx x x ? ? ? ?12221 1 d 12 xx? ? ? ??? ? 32 212 123 xC? ? ? ? ?? ? 32 21 xC? ? ? ?解 32si n d si n si n dx x x x x???? ? ?? 2( 1 c os ) d c osxx31c o s c o s .3x x C? ? ? ?例 5 .ds i n 3? xx求1 1 s i nl n .2 1 s i nx Cx????(解法二 ) s e c ( s e c t a n )s e c d ds e c t a nx x xx x xxx ?? ???? ??? xx xx t ans e c )t an( s e cd .|t ans e c|ln Cxx ???解 (解法一 ) ? ?? 2d( sin )1 sin x x?se c dxx? ? 2c o s dc o s x xx例 6 .dsec? xx求解 ?? dxxsin1? x d xcsc ?? dxxx2s ins in? ??? )( co sco s1 1 2 xdxxu c o s?? ??? duu 21 1 ? ?????? ????? duuu 1 11 121Cuu ???? 11ln21 .co s1 co s1ln21 Cxx ????例 7 求 .c sc? x d x定理 (第二換元積分法 ) ( ) [ , ] ,gu ??若 在 上有定義 ],[)( baxu 在?? 上可導(dǎo) , ???? 1( ) d ( ( ) ) . ( 2 )g u u F u C?則證 ( ) 0 ,x?在 的條件下? ? ( ) 0 , [ , ]x x a b?必有 ? ??( ) 0 , [ , ] .x x a b?或 ? ?? ()ux ?因此 是嚴(yán)格單調(diào)?1( ) ( ) ,u x x u?? ???函 數(shù) , 從 而 存 在 反 函 數(shù) 且二、第二換元積分法 ,)(d)())((? ??? CxFxxxg ??且( ) 0 ,x? ? ?1( ( ) ) ( ) ( ) ,()g x x g ux?? ??? ? ??)(1)())((dd 1xxFuFx ?? ?????于是 ??? ?1 ()d1 ,d ( ) xuxux ??所以 (2)式成立 . 說明 三角代換的 目的 是化掉根式 . 一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有 22)1( xa ?可令 。s in tax ?22)2( xa ?可令 。tan tax ?22)3( ax ?可令 .se c tax ?例 8 .)0(d22? ?? axxa求解 ?? πs in , | | ,2x a t t設(shè)22 d c os d ( sin )a x x a t a t????22c os da t t? ?2 ( 1 c os 2 ) d2a tt???222 1si n 2 ar c si n 12 2 2a a x x xt t C Ca a a??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 a r c si n .2xa x a x Ca??? ? ? ?????求 例 9 ??? 22d ( 0 ) .x aax解 ?? πt a n , | | .2x a t t設(shè)???? 22 2d se c dse cx a t tatax? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln? ? ? ?22l n ( ) .a x x C這里可借助輔助直角三 a22xa?xt角形 , 求出 sec t , tan t . 例 10 ).0(d 22 ??? aax x求解 πse c , 0 ,2x a t t? ? ?設(shè)22d se c t an dt anx a t t tatxa?????? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln22221ln ln ,x x a C x x a Caa?? ? ? ? ? ? ?其中 sec t 和 tan t 可借助輔助直角三角形求出 . axt22xa?例 11 ).0()( d 222 ??? aax x求解 πt a n , | | ,2x a t t??????2222 4 4d se c d() se cx at txa at? ?231 c o s dtta???31 ( 1 c o s 2 ) d2 ttaCttta ??? )c oss i n(2 1 3.a r c t a n2 1 223 Cax axaxa ??????? ???a22 ax ? xt三、分部積分法 定理 (分部積分法 ) 若 u(x)與 v(x)可導(dǎo) , 不定積分 ,d)()( 存在? ? xxvxu?? ( ) ( ) d ,u x v x x則 也存在 且.d)()()()(d)()( ?? ???? xxvxuxvxuxxvxu( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x由 ? ? ???證 或 .d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu ?? ????),()())()(()()( xvxuxvxuxvxu ????? 兩邊積分 ,得 1. 降冪法 等類型函數(shù)的不定積 s in , c o s , en n n xx x x x x在求例 12 .dc o s2? xxx求解 ? 2 c os dx x x? ? 2 d si nxx?? ?2 si n 2 si n dx x x x x?? ?2 si n 2 d c osx x x x? ? ? ?2 si n 2 c os 2 c os dx x x x x x.s i n2c os2s i n2 Cxxxxx ????分時 ,可用分部積分法使 xn 逐次降冪 . 定積分時 ,需要使用升冪法 . 例 13 3 l n d .x x x?解 ??? ? ???????4431ln d ( ln d )44xx x x x x?3 ln dx x x.)1ln4(164Cxx ???2. 升冪法 a r c t a n , l n , a r c s i nn n nx x x x x x求 等類型函數(shù)的不 類型的函數(shù)的不定積分時 ,用分 e s in , e c o sxxxx求3. 循環(huán)法 例 14 1 e c os daxI bx x求和? ?2 e si n d .axI bx x? ?解 1 1 c o s d( e )axI b xa? ?1 ( e c o s e s in d )a x a xb x b b x xa?? ?21 ( e c o s ) ,ax b x b Ia?? (3) 解出方程加上常數(shù) C 即可得不定積分 . 部積分法兩次 ,循環(huán)得到含未知不定積分的方程 , (4)式代入 (3)式 ,得 21 sin d( e )axI b xa? ?1 ( e sin e c o s d )a x a xb x b b x xa?? ?1 22s in c o s b x a b xICab??????2 22s i n c os bx b bxab11 ( e sin ) .ax b x b Ia??(4) 111 [ e c o s ( e sin ) ] .a x a xbI b x b x b Iaa? ? ?整理后得到 同理 1I 的 另 一 種 求 法 是 :?? ?1 1 ( e c o s e s in d )a x a xI b x b b x xa?? ?1 ( e c o s s in de )a x a xbb x b xaa? ? ? ?21( e c os e si n e c os d )ax ax axbbbx bx bx xa a a? ? ?211 ( e c os e si n )ax axbbbx bx Ia a a12 22sin c o s b x a b xI C Iab????所 以 的 求 法 類 似 .例 * 求積分 .)si n( l n? dxx解 ? dxx )si n ( l n ??? )][ si n( l n)si n( l n xxdxx? ??? dxxxxxx 1)co s( l n)si n ( l n???? )][ c o s( l n)c o s( l n)si n( l n xxdxxxx???? dxxxxx )si n( l n)]c o s( l n)[ si n( l n?? dxx )si n ( l n .)]co s( l n)[ si n ( l n2 Cxxx ???例 ** 求積分 .si n? xdxe x解 ? xdxe x si n ?? xx d esi n??? )( si nsi n xdexe xx??? x d xexe xx c o ssi n ??? xx x d exe c o ssi n???? )c o sc o s(si n xdexexe xxx???? x d xexxe xx si n)c o s( si n?? x d xe x si n .)co s( si n2 Cxxex???注意循環(huán)形式 4. 遞推法 例 15 .dc o s?? xxI nn求不定積分解 .s i ndc o s1 CxxxI ??? ?????? 1c os d c os d si nnnnI x x x x??? ? ? ?1 2 2si n c os ( 1 ) c os si n dnnx x n x x??? ? ? ??1 2 2si n c os ( 1 ) c os ( 1 c os ) dnnx x n x x??? ? ? ?12si n c os ( 1 ) c os dnnx x n x x?? ? nn x x( 1 ) c os d ,由此解出 11si n , 1 ,11si n c os , 2, 3, .n n nx C nI nx x I nnn??????? ? ?????例 16 tan xdx? si n c o s l n | c o s | .c o s c o sx d xd x x Cxx? ? ? ? ? ???例 17 2343x x dx??13321 ( 4 3 ) ( 4 3 )9 x d x? ? ? ??33 22 ( 4 3 ) .9 xC? ? ? ?例 18 求 .)1( 3 dxxx??解 dxxx? ? 3)1( dxxx? ? ??? 3)1( 11)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?.)1(2 11 1 2 Cxx ??????例 19 )1(1xxdexx ?? ?