【正文】 . [ , ]ab ( 0 )fx?(ii) 在 上每一點(diǎn)都存在 , 如果在不連續(xù) ( ) ( 0 )f x f x??( ) ( 0 )f f x??點(diǎn)補(bǔ)充定義 , 或 , 則 還有 ????? ? ????? ? ?????00( ) ( 0 )l i m ( 0 ) ,( 13 )( ) ( 0 )l i m ( 0 ) ,ttf x t f xfxtf x t f xfxtf? [ , ]ab(iii) 在補(bǔ)充定義 在 上那些至多有限個不存在 f? f?導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)上的值后 ( 仍記為 ), 在 [a, b]上可積 . 從幾何圖形上講 , 在 區(qū)間 [a, b]上按段光滑 光滑函數(shù) ,是由有限個 多有有限個第一類間 斷點(diǎn) (圖 151). 光滑弧段所組成 ,它至 15 1?圖O xb()y f x?1x 2xa 3x 4xy收斂定理指出 , f 的傅里葉級數(shù)在點(diǎn) x 處收斂于 在 f該點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值 ? ? ?( 0 ) ( 0 ) 。2f x f x而當(dāng) f 在點(diǎn) x 連續(xù)時 ,則有 ? ? ? ?( 0 ) ( 0 ) ( ) ,2f x f x fx即此時 f的傅里葉級數(shù)收斂于 ()fx. 這樣便有 上按段光滑 , 則 f 的傅里葉級數(shù)在 ( , )?? ? ?上收斂 于 f . 推論 若 f 是以 為周期的連續(xù)函數(shù) , 且在 [ π, π]?2π所以 系數(shù)公式 (10)中的積分區(qū)間 [ π, π]? 可以改為長 ?????????2 π2 π1( ) c os d 0, 1 , 2, ,π( 10 )1( ) si n d 1 , 2, ,πcn ccn ca f x n x x nb f x n x x n其中 c 為任何實數(shù) . 注 2 在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時 , 經(jīng)常 ( π, π]? [ π, π)?只給出函數(shù)在 (或 )上的解析式 , 但 注 1 根據(jù)收斂定理的假設(shè) ,f 是以 為周期的函數(shù) , 2πna nb度為 的任何區(qū)間 , 而不影響 , 的值 : 2π應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以 2π 為周期的函 ( π, π]? ( π, π]?數(shù) , 即在 以外的部分按函數(shù)在 上的對 應(yīng)關(guān)系做 周期延拓 . 也就是說函數(shù)本身不一定是定 義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù) , 但我們認(rèn)為它是周期 函數(shù) . 如 f 為 ( π, π]? 上的解析表達(dá)式 , 那么周期延拓 后的函數(shù)為 ( ) , ( π , π ],? ()(2 π ) , ( ( 2 1 ) π , ( 2 1 ) π ],1 , 2, .f x xfxf x k x k kk???? ?? ? ? ??? ? ?如圖 152所示 . 因此當(dāng)籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù) 時就是指函數(shù) ?f 的傅里葉級數(shù) . 例 1 設(shè) ????? ? ? ??,0 π,()0, π 0,xxfxx求 f 傅里葉級數(shù)展 1 5 2 ( )y f x??圖 實 線 與 虛 線 的 全 體 表 示O x()y f x?π3π? π? 3π 5πy開式 . 解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖 153 所示 , 顯然 f 是按段光滑的 . 15 3?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3π 5π2π? 2π 4ππ故由傅里葉級數(shù)收斂定理 , 它可以展開成傅里葉級 數(shù) . 由于 ππ0 π011 π( ) d d ,π π 2a f x x x x?? ? ???當(dāng) n≥ 1時 , πππ011( ) c o s d c o s dππna f x nx x x nx x?????π π π20 0 01 1 1sin sin d c o sπ π π||x nx nx x nxn n n? ? ??2221( c os π 1) ππnn nnn? ??? ? ? ???， 當(dāng) 為 奇 數(shù) 時 ,0 ， 當(dāng) 為 偶 數(shù) 時 ,?????πππ011( ) s in d s in dππnb f x nx x x nx x? ? ? ?ππ0011c o s c o s dππ |x nx nx xnn???? ?1 π2 0( 1 ) 1 c os dπnn x xnn1( 1 ),nn???( , )?? ?所以在開區(qū)間 上 π 2 1( ) c os si n si n 24 π221c os 3 si n 3 .9 π3f x x x xxx??? ? ? ?????????????在 x ? ??時 , 上式右邊收斂于 ( π 0 ) ( π + 0 ) π 0 π .2 2 2ff? ? ? ???于是 , 在 [ , ]?? ?上 f 的傅里葉級數(shù)的圖象如圖 154 所示 ( 注意它與圖 153 的差別 ). 15 4?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3? 5π2π? 2π 4πππ2例 2 將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) : ? ??????? ? ? ??22,0 π,( ) 0 , π, π 2 π .xxf x xxx解 f 及其周期延拓的 圖形如圖 155 所示 . 顯然 f 是按段光滑的 , 因此可以展開成傅里 葉級數(shù) . 15 5?圖Oyx()y f x?3π? π? 3π2π? 2ππ10? 0c? [0, 2 ]?在 ( )中令 , 在 上計算傅里葉系數(shù)如下 : 2 π0 01 ( )dπa f x x? ?? ? ???π 2 π220 π11 d ( ) dππx x x x222π 7 π 2 π ,33? ? ? ?? ? 2 π01 ( ) c o s dπna f x nx x? ? ???π 2 π220 π11 c o s d ( ) c o s dππx nx x x nx x????? ? ?????????π23201 2 2s i n c osπxx n x n xn n n24 [ ( 1 ) 1 ] ,nn? ? ?? ? 2 π01 ( ) sin dπnb f x nx x??? ? ?????2 π232π1 2 2s i n c osπxx n x n xn n n? ? ???π 2 π220 π11 sin d ( ) sin dππx nx x x nx xπ23201 2 2c os s i nπxx n x n xn n n????? ? ? ????????? 2 π232π1 2 2c os s i nπxx n x n xn n n??? ? ? ????????? ??? ? ? ? ????? ??????2232 π π 2 1 ( 1 ) .πnn n n所以當(dāng) ( 0 , π )( π ,2 π )x ? 時 , ???? ? ? ? ????2214() π [ ( 1 ) 1 ] c o snnf x nxn??? ? ? ? ? ?????22211π 8 c o s c o s 3 c o s 535x x x? ? ????? ?? ? ? ? ? ??????? ??? ?2232 π π 2 1 ( 1 ) si nπn nxn n n22232 π 3 π 4(3 π 4 ) sin sin 2 sin 3π 2 3 3x x x? ??? ? ? ? ?? ?????2πsi n 4 .4 x ??? ??當(dāng) πx ? 時 , 由于 ( π 0 ) ( π 0) 0,2ff? ? ? ?所以 ??? ? ? ? ? ?????22 2 21 1 10 π 8 . ( 14 )1 3 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221( ( 0 0 ) ( 0 0 ) )211( ( 2 π 0 ) ( 0 0 ) ) ( 4 π 0 ) 2 π ,22ffff因此 當(dāng) 0x ? 或 時 , 由于 2π222 2 21 1 12 π π 8 . ( 15)1 3 5??? ? ? ? ? ? ?????由 (14)或 (15)都可推得 ? ? ? ?22 2 21 1 1 π .1 3 5 8注 上式提供了一個計算 π 的方法 . 還可以找出其他 展開式來計算 π , 關(guān)鍵是收斂速度要快 . 例 3 在電子技術(shù)中經(jīng)常用到矩形波 (如圖 156所示 ), 反映的是一種復(fù)雜的周期運(yùn)動 , 用傅里葉級數(shù)展開 后 , 就可以將復(fù)雜的矩形波看成一系列不同頻率的 簡諧振動的疊加 . ()fx 2π設(shè) 是周期為 的矩形波函數(shù) ( 圖 156 ), O xyππ4?π4?15 6圖π?[ , )?? ?在 上的表達(dá)式為 π, π 0,4()π,0 π .4xfxx?? ? ? ???? ?? ????求該矩形波函數(shù)的傅里葉展開式 . 解 由于 ()fx是奇函數(shù) , 積分區(qū)間是對稱區(qū)間 [ π, π]? , 所以 π0 π1 ( ) d 0 ,πa f x x????π ππ 012 π( ) sin d sin dπ π 4nb f x nx x nx x?????π01 1 1c os ( 1 c os π )22 n x nnn? ? ? ? ?1, 1 , 3, 5, ,0 , 2, 4, 6, .nnn???? ?? ??于是當(dāng) π , 0 , πx ?? 時 , ππ1 ( ) c o s d 0,πna f x nx x??11( ) sin sin 3 sin( 2 1 ) .3 2 1f x x x n xn? ? ? ? ? ??當(dāng) π , 0 , πx ?? 時 , 級數(shù)收斂到 0( 實際上級數(shù)每一項都為 0 ). 21012xy36 / 5 s i n ( x )/ ? + . . . + 36 / 65 s i n ( 13 x )/ ?O xyππ4?π4?15 7圖π??1n?2n?7n例 4 將函數(shù)????????????xxxxxf0,0,)( 展開為傅里 葉級數(shù) . 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件 . 拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式在 收斂于 . )(xf],[ ???xyo ??? ?2??2?? ????? nx d xxfa n co s)(10011( ) c o s c o sx n x d x x n x d x?????? ? ???)1( co s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn? ????? dxxfa )(100011() x d x x d x?????? ? ???,??????????????????,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk? ????? nx d xxfb n s in)(10011( ) s in s inx n x d x x n x d x?????? ? ???,0??????????12 )12co s ()12(142)( n xnnxf()x??? ? ?所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為 ),2,1( ??n2141 c o s ( 2 1 ) ,2 ( 2 1 )nnn??????? ? ? ???當(dāng) πx ?? 時 , 由于 ? ? ? ?? ? ? ? ?1(( π + 0