【正文】 f 是按段光滑的 . 15 3?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3π 5π2π? 2π 4ππ故由傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理 , 它可以展開(kāi)成傅里葉級(jí) 數(shù) . 由于 ππ0 π011 π( ) d d ,π π 2a f x x x x?? ? ???當(dāng) n≥ 1時(shí) , πππ011( ) c o s d c o s dππna f x nx x x nx x?????π π π20 0 01 1 1sin sin d c o sπ π π||x nx nx x nxn n n? ? ??2221( c os π 1) ππnn nnn? ??? ? ? ???， 當(dāng) 為 奇 數(shù) 時(shí) ,0 ， 當(dāng) 為 偶 數(shù) 時(shí) ,?????πππ011( ) s in d s in dππnb f x nx x x nx x? ? ? ?ππ0011c o s c o s dππ |x nx nx xnn???? ?1 π2 0( 1 ) 1 c os dπnn x xnn1( 1 ),nn???( , )?? ?所以在開(kāi)區(qū)間 上 π 2 1( ) c os si n si n 24 π221c os 3 si n 3 .9 π3f x x x xxx??? ? ? ?????????????在 x ? ??時(shí) , 上式右邊收斂于 ( π 0 ) ( π + 0 ) π 0 π .2 2 2ff? ? ? ???于是 , 在 [ , ]?? ?上 f 的傅里葉級(jí)數(shù)的圖象如圖 154 所示 ( 注意它與圖 153 的差別 ). 15 4?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3? 5π2π? 2π 4πππ2例 2 將下列函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) : ? ??????? ? ? ??22,0 π,( ) 0 , π, π 2 π .xxf x xxx解 f 及其周期延拓的 圖形如圖 155 所示 . 顯然 f 是按段光滑的 , 因此可以展開(kāi)成傅里 葉級(jí)數(shù) . 15 5?圖Oyx()y f x?3π? π? 3π2π? 2ππ10? 0c? [0, 2 ]?在 ( )中令 , 在 上計(jì)算傅里葉系數(shù)如下 : 2 π0 01 ( )dπa f x x? ?? ? ???π 2 π220 π11 d ( ) dππx x x x222π 7 π 2 π ,33? ? ? ?? ? 2 π01 ( ) c o s dπna f x nx x? ? ???π 2 π220 π11 c o s d ( ) c o s dππx nx x x nx x????? ? ?????????π23201 2 2s i n c osπxx n x n xn n n24 [ ( 1 ) 1 ] ,nn? ? ?? ? 2 π01 ( ) sin dπnb f x nx x??? ? ?????2 π232π1 2 2s i n c osπxx n x n xn n n? ? ???π 2 π220 π11 sin d ( ) sin dππx nx x x nx xπ23201 2 2c os s i nπxx n x n xn n n????? ? ? ????????? 2 π232π1 2 2c os s i nπxx n x n xn n n??? ? ? ????????? ??? ? ? ? ????? ??????2232 π π 2 1 ( 1 ) .πnn n n所以當(dāng) ( 0 , π )( π ,2 π )x ? 時(shí) , ???? ? ? ? ????2214() π [ ( 1 ) 1 ] c o snnf x nxn??? ? ? ? ? ?????22211π 8 c o s c o s 3 c o s 535x x x? ? ????? ?? ? ? ? ? ??????? ??? ?2232 π π 2 1 ( 1 ) si nπn nxn n n22232 π 3 π 4(3 π 4 ) sin sin 2 sin 3π 2 3 3x x x? ??? ? ? ? ?? ?????2πsi n 4 .4 x ??? ??當(dāng) πx ? 時(shí) , 由于 ( π 0 ) ( π 0) 0,2ff? ? ? ?所以 ??? ? ? ? ? ?????22 2 21 1 10 π 8 . ( 14 )1 3 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221( ( 0 0 ) ( 0 0 ) )211( ( 2 π 0 ) ( 0 0 ) ) ( 4 π 0 ) 2 π ,22ffff因此 當(dāng) 0x ? 或 時(shí) , 由于 2π222 2 21 1 12 π π 8 . ( 15)1 3 5??? ? ? ? ? ? ?????由 (14)或 (15)都可推得 ? ? ? ?22 2 21 1 1 π .1 3 5 8注 上式提供了一個(gè)計(jì)算 π 的方法 . 還可以找出其他 展開(kāi)式來(lái)計(jì)算 π , 關(guān)鍵是收斂速度要快 . 例 3 在電子技術(shù)中經(jīng)常用到矩形波 (如圖 156所示 ), 反映的是一種復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) , 用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi) 后 , 就可以將復(fù)雜的矩形波看成一系列不同頻率的 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加 . ()fx 2π設(shè) 是周期為 的矩形波函數(shù) ( 圖 156 ), O xyππ4?π4?15 6圖π?[ , )?? ?在 上的表達(dá)式為 π, π 0,4()π,0 π .4xfxx?? ? ? ???? ?? ????求該矩形波函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式 . 解 由于 ()fx是奇函數(shù) , 積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間 [ π, π]? , 所以 π0 π1 ( ) d 0 ,πa f x x????π ππ 012 π( ) sin d sin dπ π 4nb f x nx x nx x?????π01 1 1c os ( 1 c os π )22 n x nnn? ? ? ? ?1, 1 , 3, 5, ,0 , 2, 4, 6, .nnn???? ?? ??于是當(dāng) π , 0 , πx ?? 時(shí) , ππ1 ( ) c o s d 0,πna f x nx x??11( ) sin sin 3 sin( 2 1 ) .3 2 1f x x x n xn? ? ? ? ? ??當(dāng) π , 0 , πx ?? 時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂到 0( 實(shí)際上級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都為 0 ). 21012xy36 / 5 s i n ( x )/ ? + . . . + 36 / 65 s i n ( 13 x )/ ?O xyππ4?π4?15 7圖π??1n?2n?7n例 4 將函數(shù)????????????xxxxxf0,0,)( 展開(kāi)為傅里 葉級(jí)數(shù) . 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件 . 拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式在 收斂于 . )(xf],[ ???xyo ??? ?2??2?? ????? nx d xxfa n co s)(10011( ) c o s c o sx n x d x x n x d x?????? ? ???)1( co s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn? ????? dxxfa )(100011() x d x x d x?????? ? ???,??????????????????,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk? ????? nx d xxfb n s in)(10011( ) s in s inx n x d x x n x d x?????? ? ???,0??????????12 )12co s ()12(142)( n xnnxf()x??? ? ?所求函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 ),2,1( ??n2141 c o s ( 2 1 ) ,2 ( 2 1 )nnn??????? ? ? ???當(dāng) πx ?? 時(shí) , 由于 ? ? ? ?? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff當(dāng) πx ? 時(shí) , 由于 ??? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff21410 c o s ( 2 1 ) 0 ,2 ( 2 1 )nnn????? ? ? ???2221118 3 5? ? ? ? ?即0,x ?當(dāng) 時(shí) 由 于? ? ? ? ?11( ( 0 + 0 ) ( 0 0 ) ) ( 0 0 ) 0 ,22ff利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式可求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和 ,)12c o s ()12( 142)(12?????????nxnnxf?,4131211 222 ???????設(shè)21 22111,3 5 8?? ? ? ? ? ?,614121 2222 ?????? ,4131211 2223 ???????,44212???? ???? ,243212??? ???212 ,6?? ? ?? ? ? 23 1 2 .12?? ? ?? ? ?四、小結(jié) ，了解傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理； 數(shù)． 作業(yè) 習(xí)題 7 上節(jié)討論了以 2? 為周期 , 或定義在 (?, ?) 上 ,然后作 2?周期延拓的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式 . 本節(jié)討論更有一般性的以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式 , 以及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式 . 167。 (ii)余弦級(jí)數(shù) . 解 (i)為了把 f 展開(kāi) 為正弦級(jí)數(shù) ,對(duì) f 做奇式周期延 拓 (圖 1511), 并由公式 (8)有 所以當(dāng) ( 0 , 2 )x ? 時(shí) , 由 (9) 及收斂定理得到 ???? ? ?? 114 π( ) ( 1 ) si nπ2nnnxf x xn4 π 1 2 π 1 3 πsi n si n si n . ( 14 )π 2 2 2 3 2x x x??? ? ? ?????但當(dāng) x=0, 2 時(shí) , 右邊級(jí)數(shù)收斂于 0. 15 12?圖Oyx22? 46? 62(ii)為了將 f 展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù) ,對(duì) f 做偶式延拓 ( 圖 1512).由公式 (6)得 f 的傅里葉系數(shù)為 0 , 1 , 2 , ,nbn??20 0 d 2,a x x???? ? ?? 2 2202 π4c o s d ( c o s π 1 )22 πn nxa x x nn224 [ ( 1 ) 1 ] , 1 , 2 , ,πn nn? ? ? ?或 2 1 2228 , 0 ( 1 , 2, ) .( 2 1 ) πkka a kk??? ? ??所以當(dāng) ( 0 , 2 )x ? 時(shí) , 由 (7)及收斂定理得到 ????? ? ??? 2218 ( 2 1 ) π( ) 1 c os( 2 1 ) π2kkxf x xk??? ? ? ? ?????2 2 28 π 1 3 π 1 5 π1 c os c os c os . ( 15 )π 2 3 2 5 2x x x 由例 4 可以看到 , 同樣一個(gè)函數(shù)在同樣的區(qū)間 上可以用正弦級(jí)數(shù)表示 , 也可以用余弦級(jí)數(shù)表示 . 三、小結(jié) 2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的基本方法． 開(kāi)為正弦級(jí)