傅里葉級(jí)數(shù)課程及習(xí)題講解-wenkub
2023-04-08 07:19:51 本頁(yè)面
【正文】 為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)，有，．證：因?yàn)?，都是以為周期的可積函數(shù)，所以令有．從而．同理可得．3 把函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并由它推出(1) ；(2) ；(3) ．解：函數(shù)，作周期延拓的圖象如下．其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù)．由系數(shù)公式得?。?dāng)時(shí)，．，故為所求．(1) 取，則；(2) 由得，于是；(3) 取，則，所以．4 設(shè)函數(shù)滿足條件，問(wèn)此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有什么特性．解：因?yàn)闈M足條件，所以，即是以為周期的函數(shù)．于是由系數(shù)公式得．當(dāng)時(shí)，．，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是，．5 設(shè)函數(shù)滿足條件：，問(wèn)此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有什么特性．解：因?yàn)闈M足條件，所以，即是以為周期的函數(shù)．于是由系數(shù)公式得．當(dāng)時(shí)，．，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是，．6 試證函數(shù)系和都是上的正交函數(shù)系，但他們合起來(lái)的卻不是上的正交函數(shù)系．證：就函數(shù)系，因?yàn)?，又；，時(shí)，．所以在上是正交系．就函數(shù)系，因?yàn)?，又，時(shí)，．所以在上是正交系．但不是 上的正交系．實(shí)因：．7 求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式 (1) ；解：作周期延拓的圖象如下．其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù)．由系數(shù)公式得?。?dāng)時(shí)，，所以，為所求．(2) ；解：作周期延拓的圖象如下．其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù)．因?yàn)?，所以由系?shù)公式得 ．當(dāng)時(shí)，．．所以，． 而時(shí)，故，為所求．(3) ；解：由系數(shù)公式得 ．當(dāng)時(shí)，，故為所求．由系數(shù)公式得?。?dāng)時(shí)，，故為所求．(4) ；解：由系數(shù)公式得 ．當(dāng)時(shí)，所以．，所以，故，為所求． (5) ．解：由系數(shù)公式得?。?dāng)時(shí)，．，所以，故，為所求．8 求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式并應(yīng)用它推出．解：由得 ，．而，故由收斂定理得．9 設(shè)為上光滑函數(shù)，．且為的傅里葉系數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)的傅里葉系數(shù)．證明．證：因?yàn)闉樯瞎饣瘮?shù)，所以為上的連續(xù)函數(shù)，故可積．由系數(shù)公式得．當(dāng)時(shí)，．故結(jié)論成立．10
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