傅里葉級(jí)數(shù)課程及習(xí)題講解-資料下載頁
2025-03-24 07:19本頁面
【正文】 等式得收斂，又收斂，從而收斂，故在上一致收斂．2 設(shè)為上可積函數(shù)，證明：若的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于，則成立貝塞爾(Parseval)等式，這里為的傅里葉系數(shù)．證：設(shè)，因?yàn)榈母道锶~級(jí)數(shù)在上一致收斂于，所以，．于是．而．所以時(shí)，故 ．3 由于貝塞爾等式對(duì)于在上滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立．請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)結(jié)果證明下列各式．(1) ；(2) ； (3) ．解：(1) 取，由167。1習(xí)題3得．由貝塞爾等式得，即． (2) 取，由167。1習(xí)題1 (1)得．由貝塞爾等式得，故．(3) 取，由167。1習(xí)題1 (2)得．由貝塞爾等式得，故．4 證明：若均為上可積函數(shù)，且他們的傅里葉級(jí)數(shù)在上分別一致收斂于和，則．其中為的傅里葉系數(shù)，為的傅里葉系數(shù)．證：由題設(shè)知，．于是而，所以．5 證明若及其導(dǎo)函數(shù)均在上可積,，且成立貝塞爾等式，則．證：因?yàn)?、在上可積，，設(shè)，由系數(shù)公式得．當(dāng)時(shí)，．于是由貝塞爾等式得．總練習(xí)題151 試求三角多項(xiàng)式 的傅里葉級(jí)數(shù)展開式．解：因?yàn)槭且詾橹芷诘墓饣瘮?shù)，所以可展為傅里葉級(jí)數(shù)，由系數(shù)公式得，當(dāng)時(shí)，，故在，的傅里葉級(jí)數(shù)就是其本身．2 設(shè)為上可積函數(shù)，為的傅里葉系數(shù)，試證明，當(dāng)時(shí)，積分取最小值，且最小值為．上述是第1題中的三角多項(xiàng)式,為它的傅里葉系數(shù)．證：設(shè)，且，因?yàn)?，而，所以故?dāng)時(shí)，積分取最小值，且最小值為．3 設(shè)為以周期，且具有二階連續(xù)可微的函數(shù)，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則．證：因?yàn)闉橐灾芷?，且具有二階連續(xù)可微的函數(shù)，所以．即，從而又絕對(duì)收斂，收斂，所以收斂，且．故結(jié)論成立．4 設(shè)周期為的可積函數(shù)與滿足以下關(guān)系式(1) ； (2) ．試問的傅里葉系數(shù)與的傅里葉系數(shù)有什么關(guān)系？解：設(shè)，(1) 則當(dāng)時(shí)， ，．，．(2) 當(dāng)時(shí)，．，．5 設(shè)定義在上的連續(xù)函數(shù)列滿足關(guān)系，對(duì)于在上的可積函數(shù)，定義，證明收斂，且有不等式．證：在上的所有可積函數(shù)構(gòu)成的集合中定義內(nèi)積為，則函數(shù)列為標(biāo)準(zhǔn)正交系．令，則，又，而．，于是，所以 ，即有上界．故 收斂，且．
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