【導(dǎo)讀】極限形式，它也可以看作是對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領(lǐng)。域的一種很重要的算法。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。學(xué)科，物理學(xué)科，信號處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。把信號表示成復(fù)正選信號的疊加，存在相似的特性。

　　

【正文】 變換。 傅里葉變換是從傅里葉級數(shù)推演而來的，傅里葉級數(shù)是所有周期函數(shù)都可以分解成一系列的正交三角函數(shù)，這樣，周期函數(shù)對應(yīng)的傅里葉級數(shù)即是它的頻譜函數(shù) 傅里葉級數(shù)是周期信號的另一種時域的表達(dá)方式，也就是正交級數(shù)，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換就是完全的頻域分析 5 傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的應(yīng)用 傅里葉級數(shù)的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)方面 計算無窮級數(shù)的和 例如，設(shè)周期為 2? 的某函數(shù) )(xf ，其在一個周期上的表達(dá)式為 2)( xxf ? （ )?? ??? x 由于 )(xf 是偶函數(shù)，所以它的傅里葉級數(shù)只有余弦項 321 220 ?? ?? ?? ?? dxxa 220 2 4)1(2)1(2c os2 kkk x dxxa kkk ????? ? ??? ? （ k =1,2,3，?） 因此， )(xf 的傅里葉級數(shù)為 kxkx k k c os1)1(43 2122 ??? ??? ? （ )?? ??? x 令 x =? ,且利用 kk )1(cos ??? ，所以 ????? 1 222 143 k k?? 因此得 6121 2?????k k 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 13 在物理方面為設(shè)計放大器提供依據(jù) 例如電路中常常使用矩形波及鋸齒波，對于矩形波 ???? ??????)20(。)02(。00)( TtE tTEtf 其傅里 葉展開式為 ?????? ???? ...5s i n513s i n311s i n4)( 0 tttEtf ???? 其中系數(shù)和k1成正比，因此，隨著簡諧次數(shù)的增高，幅度迅速減小。一般來說，在 10 次諧波以后，就認(rèn)為幅度已經(jīng)相當(dāng)小，可以略去不計。因此在設(shè)計矩形波放大器時，要求它的通頻帶寬帶約為矩形脈沖的 10 倍。若掃描矩形波頻率為 60Hz，則要求放大器的通頻帶度為 600Hz 就可以了。電視機(jī)及示波器常用掃描鋸齒波，也可作與上述相同的分析。 傅里葉變換的應(yīng)用 傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、 密碼學(xué)、聲結(jié)構(gòu)力學(xué)、海洋學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量 傅里葉變換在求解微分方程中的應(yīng)用 我們 在研究研究線性常系數(shù)偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應(yīng)用范圍包括求解無界區(qū)域的定解問題，用傅里葉變換法求解定解問題的思想與步驟： （ 1） 對定解問題作傅里葉變換，化偏微分方程為常微分方程 （ 2）求解像函數(shù) （ 3）對像函數(shù) 作傅里葉逆變換，得所求問題的解 例：對于任意 xRn? ，求下面方程的定解問 題 ( ) ( ) ( )u x u x f x?? ? ? （ 1） 其中 2()nf L R? 解：對方程（ 1）兩邊作傅里葉變換，可得： ^^2(1 ) ( ) ( )y u y f y?? （ 2） 顯然偏微分方程（ 1）已經(jīng)被轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程（ ）。求解方程（ 2），可得： ^^2()()1fyuyy? ? 經(jīng)過傅里葉逆變換，可得 ： ^^2()(x)1fyuy?????? ??? 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 14 為了使 ()ux 的表達(dá)式比較簡單明了，下面來化簡上式可得：2( ) ( )() (2 )nf x B xux ??? 其中21() 1By y? ?? 下面來求解 ()Bx 0 1ate dt a? ? ?? （其中 a.0） 2(1 )2 011 yte dty? ????? ? 21( ) ( ( ) ) ( )1B x B y y? ??? ? ?? 2 211( 2 ) 1ntx yn R e d yy? ?? ?? 22 01 ()( 2 )n tx y ytn Re e d t d t?? ???? ?? 假設(shè) ,ab R? 且 b0,令2 21 12aZ b x ib??，則有 222214aia x b x zebe d x e d zb??? ???? ???? 其中 ? 表示在復(fù)平面的等直線，把 ? 轉(zhuǎn)化成實(shí)軸，則可計算 22 21zxe d z e d x ?????? ??????，所以有 22214 ( )ia x b x ae d x e b b??? ???? ?? 所以222401() 2 xt tnneB x dtt????? ? ()nxR? 根據(jù)卷積原理，則偏微分方程（ 1）的解為 222401( ) ( )( 4 ) nxyttnnReu x f y dy dtt??????? ?? ()nxR? 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想，實(shí)際上就是開始時使用傅里葉變換，將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問題，解出這個常微分方程的問題的解，然后利用傅里葉逆變換求原問題的解。 周期函數(shù)與離散頻譜 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 15 眾所周知 ，一個諧波函數(shù) 0( ) c os( )f t A t????，是由振幅 A ，相位 ? 和頻率 0? 三個參數(shù)唯一的確定了。 對于周期為 T 的周期函數(shù) ()ft ，它可展成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：0( ) ( ) jn tf t F n e ?????? ? 對上式取傅里葉變換，并考慮 ()Fn不是時間 t 的函數(shù)，由此可得 ： 00 0( ) ( ) 2 ( ) ( )j n t j n tnnF F n e e d t F n n??? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ???? ? ???????? ()F? 是周期函數(shù)的傅里葉變換譜，上式表明，周期函數(shù)的頻譜由無窮多個脈沖組成，這些脈沖位于頻率 0n? 處，每個脈沖的脈沖強(qiáng)度為 2 ( )Fn? 需指出的是，雖然從頻譜的圖形上，這里的 ()F? 與 ()Fn是及其相似的，但兩者含義不同。當(dāng)對周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換時，所得到的是頻譜密度；而將該函數(shù)展成傅里葉級數(shù)時，所得到的傅立葉系數(shù)，是復(fù)指數(shù)分量的幅值。 可見，引入了脈沖函數(shù)之后，對周期函數(shù)和非周期函數(shù)可以用相同的觀點(diǎn)和方法進(jìn)行分析運(yùn)算，這將給信號分析帶來了很大的方便。 。 2 參考文獻(xiàn) [1] 劉元駿 . 大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程（下冊） . 北 京：科學(xué)出版社 2021. [2] 王濤，方剛 . 數(shù)學(xué)分析（下冊） . 北京：科學(xué)出版社 2021. [3] 林益，劉國鈞 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 . 武漢：華中科技大學(xué)出版社 2021. [4] 劉向麗 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 .北京：機(jī)械工業(yè)出版社 2021 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 16 致 謝 首先我要衷心的感謝我的導(dǎo)師張玲老師 。 張 老師 擁有 淵博 的， 開闊 的思路 ， 她不僅是我的論文指導(dǎo)老師而且還是我的代課老師，課堂上 她直至不倦的傳授我們新的知識 ，在她 的引導(dǎo)下，我認(rèn)識了傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的相關(guān)理論 ，并了解了怎樣去寫一篇論文，為 本篇論文打下 了理論 基礎(chǔ) 。老師不拋棄不放棄每一個學(xué)生的教學(xué)態(tài)度，吃苦耐勞的工作作風(fēng)，以及樂觀開朗的生活態(tài)度是我們在以后的工作中值得我們?nèi)W(xué)習(xí)，并激勵著我們不斷進(jìn)步 。 其次，感謝身邊的同學(xué)，朋友，老師，相聚是緣，淚痕與汗水，辛酸與甜蜜，淺薄與深沉，都融入這方寸土之地，散落于每個角落，不分彼此，直至永遠(yuǎn)，感謝一路有你們的陪伴。 最后，感謝母校滁州學(xué)院，對于您，我們有過驕傲與自豪，有過苛責(zé)與失望，有過頹廢和奮進(jìn)，時間流逝，轉(zhuǎn)眼之間我們就站在了具有選擇性的岔路口做出人生中重要的選擇，或工作、或考研、或靠編。就要各奔前程，每個 人收獲的果實(shí)不一樣，但母校潛移默化的影響，對母校深深的眷戀，卻將同樣長久地伴隨我們。