【導(dǎo)讀】列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語.而實(shí)際上,矩陣在它的課題誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了.學(xué)家歐拉在將三個(gè)變數(shù)的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí),隱含地給出了特征方程的。概念.1773年,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在討論齊次多項(xiàng)式時(shí)引入了線。性變換.1801年德國數(shù)學(xué)家高斯在《算術(shù)研究》中,將歐拉與拉格朗

　　

【正文】 ??7577111793031334213222111zyxzyxzyx,即 ????????????????????????????????????7577111793323334334334232323111212121212121zzyyxxzzzyyyxxxzzzyyyxxx . 比較第一列元素得?????????????73133432312121xxxxxxxx ,解得??? ???? 95 37121xx xx 同樣 ,比較第二、三列元素可得對應(yīng)方程組 ,分別解得 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 19 頁 共 24 頁 75 37,35 35 12 112 1 ?? ???? ?? zz zzyy yy,所以可得 ?????? ??????? 75735 3595 37 1 11 11 `1 z zy yx xX ,其中 111 , zyx 是任意實(shí)數(shù) . 總之 ,對于矩陣方程 ,當(dāng)系數(shù)矩陣是方陣時(shí) ,先判斷是否可逆 .如果可逆 ,則可以利用左乘或右乘逆矩陣的方法求未知矩陣 ,如果方陣不可逆或是系數(shù)矩陣不是方陣 ,則需要用待定元素法通過解方程確定未知矩陣 . 矩陣對角化方法 討論對于有 n 個(gè)特 征單根的 n 階方陣 基本原理 引理 1 設(shè) A 是秩為 r 的 nm? 階矩陣 ,且 ? ?nTEA ??? ?? 行初等變換 ???????? ??? nrnmrnrm PD)()(0 其中 D 是秩為 r 的行滿秩矩陣 ,則齊次線性方程組 0?AX 的一個(gè)基礎(chǔ)解系即為矩陣 P 所含的rn? 個(gè)行向量 ),2,1( rnii ?? ?? . 引理 2 矩陣 A 的特征矩陣 )(?A 經(jīng) 過一系列行初等變換可化為上三角形的 ? －矩陣 )(?B ,且 )(?B 的主對角線上元素乘積的 ? 多項(xiàng)式的解為矩陣 A 的全部特征根 . 引理 3 對于數(shù)域 P 上的 n 階方陣 A ,若 A 的特征多項(xiàng)式在 P 內(nèi)有 n 個(gè)單根 ,則由特征向量構(gòu)成的 n 階可逆矩陣 T ,使得????????????????nATT????211 定理 1 若數(shù)域 P 上的 n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式 )(?f 在 P 內(nèi)有 n 個(gè)單根 ,則 A 可通過如下方法對角化 : 設(shè) ? ? ? ?)()()(,)( ????? QBEAAEA nTTT ??? ???? 行初等變換且 )()1 ?B 為上三角形矩陣 ,則有方陣 A 的特征根 i? 即為 )(?B 中主對角線上各個(gè)元素乘積的解 。 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 20 頁 共 24 頁 )2 對于方陣 A 的每一個(gè)特征根 i? ,總有 )(iB? 中零行向量所對應(yīng)的 )(iQ? 中的行向量 i? 與之對應(yīng) . 例 17 設(shè)???????????210131012A ,問方陣 A 是否可以化為對角形 ,若可以 ,求出其對角化后的方陣 . 解 ? ???????????????????100210010131001012)(???? EA T ?????? ?? 第一行與第二行互換?????????????????100210001012010131??? ????????? ?? ? 行上乘以第一行再加到第二)2( ?????????????????????10021002125500101312?????? ?????? ?? 第二行與第三行互換????????????????????02125501002100101312 ?????? ?????????? ?? ?? 行上乘以第二行再加到第三)55( 2 ???????????????????????5521)4)(2)(1(001002100101312 ???????? =? ?)()( ?? QB 由題意知 )4)(2)(1( ??? ??? =0? 11?? , 22?? , 43?? ,此時(shí)方陣 A 有 3 個(gè)特征單根 ,故方陣 A 可以化為對角形 。 將 11?? 代入 )()( ?? QB 和 中知 )(?B 的第三行為零 ,由定理 1知 )(?Q 的第三行向量)1,1,1( ? 即為屬于 1? 的特征向量 ,同理可知 )1,2,1(),1,0,1( ? 分別為屬于 32 ??和 的特征向量 . 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 21 頁 共 24 頁 于是可得?????????????111201111T ,使得 ????????????4211 ATT . 討論對于有特征重根的 n 階方陣 對于有特征重根的方陣 ,可以通過上述方法將其化為上三角形矩陣 ,接著再對上三角形矩陣施行一系列初等變換將其化為對角形矩陣 ,這樣就避免了上三角形矩陣中非零行向量可能不構(gòu)成行滿秩的情形 . 定理 2 設(shè) TT AEA ?? ??)( ,則 ? ? ? ?)()()( ??? PDEA T ??? ?? 初等變換 且 )(?D 為對角形矩陣 ,則有 )1 對于 A 的每個(gè)特征根 i? , )(iP? 中與 )( iD? 的零行對應(yīng)的行向量即為屬于 i? 的特征向量 。 )2 設(shè) s??? ?, 21 為 A 的所有不同的特征根 ,重?cái)?shù)分別為 srrr ?, 21 ,則 A 可以化成對角形? )(iD? 中的零行數(shù)目等于 i? 的重?cái)?shù) ),2,1( siri ?? . 由此我們不難得到對于有特征重根的方陣化為對角形方陣的簡單步驟如下 : )1 作 ? ? ? ? ? ?)()()()()( ????? PDQBEA T ??? ????? ?? 初等變換行初等變換 , 其中 ))(),(),(()( 21 ???? ndddd ia gD ?? ,則 A 的特征根恰為 0)()()( 21 ???? nddd ? 的根 。 )2 若 A 的特征根全在 P 內(nèi) ,且每個(gè) i? 有 )(iD? 中零行數(shù)目等于 i? 的重?cái)?shù) ,則 A 可以化為對角形方陣 ,否則 A 不可以化為對角形方陣 。 )3 對于每個(gè)特征根 i? ,在 )(iP? 中取出與 )(iD? 中零行對應(yīng)的行向量 ),( 21 imii PPP ? 得 A屬于 i? 的特征向量且都是線性無關(guān)的 . 舉例說明 例 18 ????????????110111110)1 A 。 ?????????????100112001)2 B 問方陣 A 和 B 是否可以化為對角形 ,若可以 ,試求出其對角化后的方陣 . 解 ? ??????????????????10011101011100101)()1???? EA T 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 22 頁 共 24 頁 ?????? ?? 第一行與第三行互換????????????????00101010111100111??? ???????? ?? ? 行上乘以第一行再加到第二)1(????????????????0010111020100111???? ???????? ?? 行上乘以第一行再加到第三?????????????????????????0110110201001112 ???????? ?? ? 二行上）乘以第三行再加到第（ 1??????????????????????????01101111010011122????????? ?? ? 三行上）乘以第二行再加到第（ 1?????????????????????????112)1(0011110100111222?????????????????? ?? ? 列上乘以第二列再加到第三)( 2? ?????????????????????????112)1(00111010100111222??????????????????? ?? ??? 列上乘以第一列再加到第三)1( 2 ?? ??????????????????????112)1(0011101010001122 ??????? ?????? ?? 第二行加到第一行上????????????????????????112)1(001110101100122 ????????? ?)()( ?? PD? 由題意知 0)1( 2 ???? ? 01?? , )(12 二重?? ,因?yàn)?)( 2?D 中零行數(shù)目 ?1等于 2? 的重?cái)?shù) ,故 A 不可以化為對角形方陣 . )2 ? ????????????????100110010010001021)(???? EA T 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 23 頁 共 24 頁 ?????? ?? 第二行與第三行互換??????????????010010100110001021??? ????????? ?? ? 行上乘以第二行再加到第三)1( ????????????????1101001001100010212 ???? ????????? ?? ? 列上乘以第二列再加到第三)1( ? ???????????????110100100010001)1(2212 ???? ???????? ?? ? 列上乘以第一列再加上第三)2( ??????????????1101001000100010212 ??? ???????? ?? 行上乘以第二行再加到第一2??????????????1101001000102020012 ??? ? ?)()( ?? PD? . 由題意知 0)1)(1( 2 ??? ?? ? )(11 二重?? , 12 ??? ,此時(shí) )(1?D 中零行數(shù)等于 ?2 1? 的重?cái)?shù) ,故 B 可以化為對角形方陣 。 將 11?? 代人 )()( ?? PD 和 中知 )(?D 的第一行和第三行為零 ,由定理 2 知 )(?P 的第一行向量 )2,0,1( 和第三行向量 )2,1,0( 即為屬于 1? 的特征向量 ,同理可知 )0,1,0( 為屬于 2? 的特征向量 . 由此可知???????????022110001T 使得 ?????????????1111 BTT . 結(jié) 論 通過以上對矩陣的學(xué)習(xí) ,我們知道 ,想要在學(xué)習(xí)過程中靈活應(yīng)用矩陣思想 ,首先要理解矩陣思想 ,在此基礎(chǔ) 上 ,遇到難解的數(shù)學(xué)問題 ,能發(fā)現(xiàn)矩陣是可以解決此類問題的關(guān)鍵 ,最后能正確無誤的利用矩陣思想把數(shù)學(xué)問題得以解決 .矩陣是代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對象 ,他對于研究矩陣的相關(guān)運(yùn)算、解線性與非線性方程組、特征值和特征向量的求解方法、對角化及二次型矩陣、求解矩陣高次冪等重要問題都有極為廣泛的應(yīng)用 . 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 24 頁 共 24 頁 參考文獻(xiàn) [1]李志慧 ,李永明 .高等代數(shù)中的典型問題與方法 [M].科學(xué)出版社 , [2]王萼芳 ,石生明 .高等代數(shù)（第三版） .高等教育出版社 [3] 張禾瑞．高等代數(shù)（第五版） [M]．北京 :高等 教育出版社 ,2020 [4]