【正文】 0?? Ad 那么線性方程組（ ）有解 ,并且解是唯一的 ,解可以通過系數(shù)表為 , 2211 ddxddxddx nn ??? ?其中 jd 是矩陣 A 中第 j 列換成方程組的常數(shù)項 nbbb , 21 ? 所成的矩陣的行列式 ,即 .,2,1,1,1,121,221,22111,111,111njaabaaaabaaaabaadnnjnnjnnnjjnjjj ??????????????????? 定理 (線性方程組的有解判定定理 ) 線性方程組???????????????????snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????22112222212111212111有解的充分必要條件為 它的系數(shù)矩陣???????????????snssnnaaaaaaaaaA??????212222111211與增廣矩陣???????????????ssnssnnbaaabaaabaaaA21222221111211有相同的秩 . 線性方程組一般形式的運用 例 9 求下述齊次線性方程組的一個基礎解系 ?????????????????????????????0931050320117630426354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 把方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣 : ?????????????????????????????????????????000000000078100650219131051312111716341263 2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 15 頁 共 24 頁 于是方程組的一般解 為 : ??? ?????5435421 78 652 xxx xxxx 其中 542 , xxx 是自由未知量 . 令 0,0,1 542 ??? xxx 得 )0,0,0,1,2(1 ?? 0,1,0 542 ??? xxx 得 )0,1,8,0,5(2 ??? 1,0,0 542 ??? xxx 得 )1,0,7,0,6(3 ??? 這里 321 , ??? 就是方程組的一個基礎解系 . 例 10 解線性方程組 : ???????????????????????????????2573431272327225354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解 把此方程組的增廣矩陣經(jīng)過初 等行變換化成階梯形矩陣 : ????????????????????????????????????????????????????????????????????000000666100121010875001000000666100545110112111257343112111721132712253 從而得到此方程組的一般解為 : ???????????????66662875543542541xxxxxxxxx 其中54,xx 是自由未知量 . 對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的非齊次線性方程組 ,如果它的系數(shù)行列式不為零 ,我們還可以用克萊姆法則求解 .但是這種方法計算量很大 ,因此我們一般不用它 ,只是對少數(shù)字母系數(shù) 的方程組采用克萊姆法來進行求解 . 例 11 非齊次線性方程組 楊燦：矩陣及其應用 第 16 頁 共 24 頁 ???????????????????????321934443522134321432143214321xxxxaxxxxxxxxxxxx 求當 a 為何值時方程組有解？此時有多少解？ 解 把方程組的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣 : ???????????????????????????????????????00000340000211001131132211193444352211311aa ???????????????????????????????????????00000340000211001131132211193444352211311aa 顯然 ,當 34?a 時 ,方程組無解 。當 34?a 時 ,方程組無解 ,此時由于階梯形矩陣的非零行有 2行 ,而未知量有 4個 ,所以方程組有無窮多個解 ,易求出一般解為 ??? ?????? 2 7443421 xx xxx 其中 42,xx 是自由未知量 . 解矩陣方程 矩陣方程是矩陣運算的一部分 ,這 里我們主要討論如何求解矩陣方程的問題 .掌握簡單的矩陣方程的求法 ,對于求解復雜的矩陣方程有很大幫助 . 簡單的矩陣方程有三種形式 : ., CAXBCXACAX ??? 如果這里的 A 、 B 都是可逆矩陣 ,則求解時需要找出矩陣的逆 ,注意左乘和右乘的區(qū)別 .它們的解分別為 ., 1111 ???? ??? BAXCAXCAX 例如 ,求解方程 CAC? 先考察 A 是否可逆 ,如果 A 可逆時 ,方程兩邊同時左乘 1?A ,得,11 CAAXA ?? ? 即 ,1CAX ?? 這里要注意只能左乘不能右乘 ,因為矩陣的乘法不滿足交換律 .同樣 ,對于方程 ,CXA? 只能右乘 1?A ,得 ,11 ?? ?CAXAA 即 .1??CAX 而對于方程 ,CAXB? 只能是左乘 1?A 而右乘 1?B ,得 ,1111 ???? ? CBAA CB BA 即 .11 ??? CBAX 2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 17 頁 共 24 頁 看下面解矩陣方程例題 : 例 12 ?????????????????????315432343122321X 解 先求出 1?A ,則 ,111 25323 231343122321 1????????????????????????? ?則 ????????????????????????????????????????????????????????????332123315432111 25323 2313154321343122321X 例 13 ?????? ????????????212101343122321X 解 先求出 1?A ,則 ,111 25323 231343122321 1????????????????????????? ?則 ??????????????????????????????? ?????????????????? ???27525120111 25323 2312121013431223212121011X 例 14 ???????????????????????????3154321325343122321X 解 先求出 1?A ,則 ,111 25323 231343122321 1????????????????????????? ??????? ????????? ? 53 2113 25 1 , 則 ???????????????????????????????????????????????????????????????5321315432111 25323 2311325315432343122321 11X ???????????????????? ???????????????131148735331332123 當矩陣方程 CA X BCXACAX ??? , 中的 A 、 B 不是方陣或者是不可逆的方陣時 ,前面的楊燦：矩陣及其應用 第 18 頁 共 24 頁 方法就不能用了 .這時 ,我們需要用待定元素法來求矩陣方程 .設未知矩陣 X 的元素為 ijx ,即)( ijxX? ,然后由所給的矩陣方程列出 ijx 所滿足的線性方程組 ,通過解線性方程組求出所有元素ijx ,從而得到所求矩陣 )( ijxX? . 例 15 解矩陣方程 ????????????? ? 41 52102 011 X 解 利用元素法 ,先確定 X 的行數(shù)等于左邊矩陣的行數(shù) 3,X 的列數(shù)等于積矩陣的列數(shù) 2,則X 是 23? 的矩陣 . 設???????????2221yyyxxxX ,則 ??????????????????????? ? 41 52102 0112121yyyxxx . 即 ????????????? ???? 41 52222111 yyxx yyxx ,于是得方程組???????????????4212522211yyxxyyxx. 解得???????????????yyxxyyxx2421522211,所以???????????????yyyxxxX245212 ,其中 yx, 為任意實數(shù) . 例 16 解矩陣方程 ,CAX? 其中?????????????031334213A ,???????????7577111793C . 解 由于 0?A ,所以 A 是不可逆矩陣 ,需要用元素法求解 . 設 ,222111???????????zyxzyxzyxX 則???????????????????????????????