【正文】 xX245212 ,其中 yx, 為任意實數(shù) . 例 16 解矩陣方程 ,CAX? 其中?????????????031334213A ,???????????7577111793C . 解 由于 0?A ,所以 A 是不可逆矩陣 ,需要用元素法求解 . 設(shè) ,222111???????????zyxzyxzyxX 則?????????????????????????????????7577111793031334213222111zyxzyxzyx,即 ????????????????????????????????????7577111793323334334334232323111212121212121zzyyxxzzzyyyxxxzzzyyyxxx . 比較第一列元素得?????????????73133432312121xxxxxxxx ,解得??? ???? 95 37121xx xx 同樣 ,比較第二、三列元素可得對應(yīng)方程組 ,分別解得 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 19 頁 共 24 頁 75 37,35 35 12 112 1 ?? ???? ?? zz zzyy yy,所以可得 ?????? ??????? 75735 3595 37 1 11 11 `1 z zy yx xX ,其中 111 , zyx 是任意實數(shù) . 總之 ,對于矩陣方程 ,當(dāng)系數(shù)矩陣是方陣時 ,先判斷是否可逆 .如果可逆 ,則可以利用左乘或右乘逆矩陣的方法求未知矩陣 ,如果方陣不可逆或是系數(shù)矩陣不是方陣 ,則需要用待定元素法通過解方程確定未知矩陣 . 矩陣對角化方法 討論對于有 n 個特 征單根的 n 階方陣 基本原理 引理 1 設(shè) A 是秩為 r 的 nm? 階矩陣 ,且 ? ?nTEA ??? ?? 行初等變換 ???????? ??? nrnmrnrm PD)()(0 其中 D 是秩為 r 的行滿秩矩陣 ,則齊次線性方程組 0?AX 的一個基礎(chǔ)解系即為矩陣 P 所含的rn? 個行向量 ),2,1( rnii ?? ?? . 引理 2 矩陣 A 的特征矩陣 )(?A 經(jīng) 過一系列行初等變換可化為上三角形的 ? －矩陣 )(?B ,且 )(?B 的主對角線上元素乘積的 ? 多項式的解為矩陣 A 的全部特征根 . 引理 3 對于數(shù)域 P 上的 n 階方陣 A ,若 A 的特征多項式在 P 內(nèi)有 n 個單根 ,則由特征向量構(gòu)成的 n 階可逆矩陣 T ,使得????????????????nATT????211 定理 1 若數(shù)域 P 上的 n 階方陣 A 的特征多項式 )(?f 在 P 內(nèi)有 n 個單根 ,則 A 可通過如下方法對角化 : 設(shè) ? ? ? ?)()()(,)( ????? QBEAAEA nTTT ??? ???? 行初等變換且 )()1 ?B 為上三角形矩陣 ,則有方陣 A 的特征根 i? 即為 )(?B 中主對角線上各個元素乘積的解 。,( 為非負(fù)整數(shù)nmAAA nmnm ?? (2) .)( mnnm AA ? 注意 : 一般地 , ,)( mmm BAAB ? m 為自然數(shù) 命題 1 設(shè) BA, 均為 n 階矩陣 , ,BAAB? 則有 ,)( mmm BAAB ? m 為自然數(shù) ,反之不成立 . 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 7 頁 共 24 頁 矩陣高次冪的求法 矩陣方冪在高等代數(shù)題解、矩陣穩(wěn)定性討論及預(yù)測、控制等方面有廣泛的應(yīng)用 ,它的求解原理貫穿于代數(shù)教學(xué)過程的始終 ,可以用到矩陣各方面的知識 .其計算量往往較大 ,但方法適當(dāng) ,可大大簡化其計算難度 .本文將給出六種求矩陣方冪地方法 . 利用凱萊 —— 哈密爾頓（ Cayley— Hamilton）定理求方陣的冪 定理 1 （ Cayley— Hamilton定理）設(shè) A是 n階 矩陣 , )(?f 是 A的特征多項式 ,則 0)( ??f . 設(shè) A 是數(shù)域 P 上 n 階方陣 ,其特征多項式為 )(?f ,為求 An（ n 是正整數(shù)） ,令 ng ?? ?)( ,做帶余除法 , )()()()( ???? rqfg ?? .由定理 1知 , )()( ?? rg ? ,并且 )(?r 的次數(shù)小于 )(?g 的次數(shù) ,進(jìn)而可得 nrg ????? )()( . 利用上定理求冪時在計算過程中可分為兩種情形 : 所求矩陣的冪指數(shù)相對較低 ,可直接利用定理 1及余式定理求出 )(?r . 例 1 已知 ????????????101121002A ,求 5? . 解 令 5)( ?? ?g 矩 陣 ? 的 特 征 多 項 式 為 )1()2(101121002)d e t ()( 2 ????????????? ???????f 做帶余除法 , 681 1 649)1750)(()( 225 ??????? ??????? fg 于是 ,由定理 1知 ????????????????????? 681 1 649681 1 649)1750)(()( 2225 fg ???????????????????????????????????1000100016810112100211610334300449 ????????????10313132310032 所求矩陣的冪指數(shù)相對較高 ,不便用上法直接求出余式 .此種情形下矩陣的特征多項式有重楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 8 頁 共 24 頁 根和無重根時分別給出下面的解法 . (1)矩陣的特征多項式無重根 . 對于 ini icqfrqfg ??????? ?????? 1)()()()()()(,以其 n 個不同的特征值分別代入此式即可求出 )(?r . 例 2 已知????????????211110101 ,求99100 3??? . 解 令 99100 3)( ??? ??g . 矩陣 ? 的特征多項式為 )3)(1(211110101)d e t ()( ??????????????? ????????f . 做帶余除法 ,注意到 )(?f 的次數(shù)是 3,即 cbaqfg ?????? ??????? 299100 )()(3)( . 以 3,1,0?? 分別代入上式得 0)0( ??cg . 2)1( ????? cbag . 039)3( ???? cbag . 所以 0,3,1 ???? cba . 由定理 1 , ??????????????? 33)( 2299100 cbag ???????????????????????????????????0000110112111101013631321312 . （ 3）矩陣的特征多項式有重根 . 同上法 ,為獲得足夠的信息求出 )(?r ,可對 )()()()( ???? rqfg ?? 求導(dǎo) . 例 3 已知??????????????210111111 ,求100? . 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 9 頁 共 24 頁 解 A的特征多項式是 )2()1()d e t ()( 2 ??????? ????f 令 100)( ?? ?g ,做帶余除法 0122)()()( bbbqfg ???? ????? 以 2,1?? 分別代入上式 ,有??? ???? ????100012 012 234)2(1)1( bbbg bbbg 為求 )2,1,0( ?ibi ,就 )(?g 對 ? 求導(dǎo)得 1001239。反之 ,每個對稱矩陣也有一個二次型與之對應(yīng) .二次型與它的矩陣是相互唯一確定的 . 一般地 ,關(guān)于二次型的矩陣有下列結(jié)果 . 定理 1 設(shè) B 是 nn? 矩陣 ,則 Bxxxxxf Tn ?),( 21 ? 是一個二次型 ,它的矩陣為 2BBT? . 特征值與特征向量 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 5 頁 共 24 頁 n維線性變換空間 V 與矩陣空間 nnp? 是同構(gòu)關(guān)系 ,可以通過矩陣來研究線性變換的性質(zhì) ,我們希望找到一 組 基 , 21 n??? ? 使得線性變換 AL 在這 組 基下的矩陣 A 的形式最簡單 .這個問題的一個簡單設(shè)想是 A 是否可以是對角形式？即 ),(,3,2,1, 21 njjjA aaad ia gAnjaL ?? ??? ?? . 這個設(shè)想可以歸結(jié)為 :對線性空間 V 的線性變換 ?? kLA ? , Pk? .這就是線性變換的特征值與特征向量 . 定義 1 設(shè) AL 是數(shù)域 ? 上線性空間 V 的一個線性變換 ,如果對于數(shù)域 ? 中一數(shù) 0? ,存在一個非零向量 ? ,使得 ??? 0?AL .那么 0? 稱為 AL 的 是一個 特征值 ,而 ? 稱為 AL 的屬于特征值 0? 的一個特征向量 . 定義 2 設(shè) A 是數(shù)域 ? 上一 n 級矩陣 , ? 是一個文字 . 矩陣 ???? 的行列 式 nnnnnnaaaaaaaaa???????????????????????212222111211,稱為 A 的 特征多項式 , 這是數(shù)域 ? 上的一個 n次多項式 . 上面的分析說明 , 如果 0? 是線性變換 AL 的特征值 , 那么 0? 一定是矩陣 A 的特征多項式的一個根 。線性方程組 II Matrix and Its Application YANG Can (Grade 2020, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and statistics, Chongqing Three Ges University, Wan Zhou, Chongqing 404100 ) Abstract: Matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical the development of science and technology,this theory has bee the effective tool for modern technology in the field of large amounts of article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,the two type are systematically studied and some simplified calculation. Keywords:Matrix。矩陣的冪 。所謂矩陣的列秩就是指矩陣的列向量組的秩 . 引理 1 如果齊次方程組???????????????????000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????的系數(shù)矩陣 ???????????