【正文】 ????snssnnaaaaaaaaaA??????212222111211的行秩 nr? ,那么它有非 零解 . 定理 1 矩陣的行秩與列秩相等 . 定理 2 nn? 矩陣???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212222111211的行列式為零的充分必要條件是 A 的秩小于n . 推論 1 齊次線性方程組???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212222111211的行列式等于零 . 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 3 頁(yè) 共 24 頁(yè) 矩陣的逆 我們知道 ,n 階單位矩陣 E 單位性質(zhì) ,即對(duì)于任意 n 階方陣 A 都有 AEAAE ?? ,是否存在n 階方陣 B 使得 EAB? 呢？即是否與數(shù)域 P 中數(shù)一樣的性質(zhì) : 1)0( 1 ?????? ?aaPa . 為此 ,我們引進(jìn)逆矩陣的概念 . 定義 1 n 階方陣 A 稱為可逆的 ,如果有 n 階方陣 B ,使得 EBAAB ?? . （ ） 這里 E 是 n 級(jí)單位矩陣 .并且稱 B 為 A 的一個(gè)逆矩陣 . 定義 2 如果矩陣 B 適合（ ） ,那么 B 就稱為 A 的逆矩陣 ,記為 1?A . 定理 1 n 階矩陣 A 可逆的充分必要條件是 A 非退化 ,此時(shí) ,A 的逆矩陣為 0,1 *1 ???? AdAdA . 定理 2 給出了矩陣可逆時(shí)逆矩陣的計(jì)算公式 .下面給出可逆矩陣的一些性質(zhì) : 性質(zhì) 1 如果 n 階方陣 A 可逆 ,那么 0??Ad ,并且 dA 11 ?? . 性質(zhì) 2 如果矩陣 BA, 同級(jí)且都可逆 ,那么 TA 與 AB 也可逆 ,且 11111 )(,)()( ????? ?? ABABAA TT . 性質(zhì) 3 如果 n 階方陣 A 可逆 ,那么 kANk ,?? 也可逆 ,并且 kk AA )()( 11 ?? ? . 性質(zhì) 4 如果 n 階方陣 A 可逆 ,那么 kAZk ,?? 也可逆 ,并且 kk AA )()( 11 ?? ? . 性質(zhì) 5 如果 n 階方陣 A 可逆 ,那么 Zlk ??, ,有 lklkklkllk AAAAAA ???? ,)()( . 定理 3 A 是一個(gè) ns? 矩陣 ,如果 P 是 ss? 可逆矩陣 ,Q 是 nn? 可逆矩陣 ,那么 )()()( ArAQrPAr ?? . 推論 1 在定 3的假設(shè)下有 , )()( ArPAQr ? 成立 . 二次型及矩陣表示 定義 1 設(shè) P 是一個(gè)數(shù)域 ,一個(gè)系數(shù) ija 在數(shù)域 P 中的 nxxx , 21 ? 的二次齊次多項(xiàng)式 jinji ijini iin xxaxaxxxf ?? ???? ?? 12121 2),( ?. （ ） 定義 2 記 ijji aa ? ,把 n 元二次型（ ） ,寫成對(duì)稱形式 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 4 頁(yè) 共 24 頁(yè) jininj ijn xxaxxxf ? ?? ?? 1 121 ),( ?. （ ） 這樣 ,系數(shù) ija 可以構(gòu)成一個(gè) nn? 對(duì)稱矩陣 ????????????????nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA??????212222111211)( , （ ） 稱（ ）為 n 元二次型（ 1）的矩陣 . 令 Tnxxxx ),( 21 ?? ,則有 ini jnj ijjininj ijn xxaxxaxxxf ? ?? ? ? ?? ? ?? 1 11 121 )(),( ?, =??????????????????????????njjnjnjjjnjjjnxaxaxaxxx1121121 ),(??, =????????????????????????????nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx ???????? 2121222211121121 ),( , = AxxT , （ ） 這就是二次型的矩陣表示 .對(duì)確定的 n 元二次型（ ） ,就確定唯一的對(duì)稱矩陣（ ）通過(guò)（ ）聯(lián)系起來(lái) ,即 Axxxxaxxxf Tjininj ijn ?? ? ?? ?1 121 ),( ?. 因此 ,一個(gè) n 元二次型（ ）對(duì)應(yīng)一個(gè) n 階對(duì)稱矩陣 .每個(gè)二次型都有一個(gè)對(duì)稱矩陣與之對(duì)應(yīng) 。 (3)把所得的特征值逐個(gè)代入方程組 （ ） 式 , 對(duì)于每一個(gè)特征值 , 解方程組 （ ） 式 ,求出一組基礎(chǔ)解系 , 它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量在基 n??? , 21 ? 下的坐標(biāo) , 這樣 , 我們也就求出了屬于每個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量． 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為 A 的特征值 , 而相應(yīng)的線性方程 組 （ ） 式 的解也就稱為 A 的屬于這個(gè)特征值的特征向量． 3 矩陣的應(yīng)用 矩陣的高次冪 矩陣的冪 定義 1 設(shè)方陣 nnijaA ?? )( , 規(guī)定 .,0 為自然數(shù)個(gè) kAAAAEA kk ????? ? ????? kA 稱為 A 的 k 次冪 . 方陣的冪滿足以下運(yùn)算規(guī)律（假 設(shè)運(yùn)算都是可行的） : (1) )。???? ,其中??????????????????????????????????nn bbbbaaaa.,.321321????. 例 4 已知??????????????????1233321231211,求 n? . 解 顯然 1)( ??rank ,并且??????????????????1233321231211????????????????? 3121132`1 , 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 10 頁(yè) 共 24 頁(yè) 而 331211321????????????????? ,所以????????????????????????????????????? ???123332123121133312113213 111 nnnn. 可分解為數(shù)量矩陣和零冪矩陣之和的情況 要點(diǎn) 觀察推敲矩陣 A ,看其是否可以分解為一個(gè)數(shù)量矩陣 ?? 與一個(gè)零冪矩陣 ? 之和 ,即 ?????A ,其中 Om?? ,但 Om ?? ?1 ,因?yàn)閿?shù)量矩陣 ?? 和 ? 可 以交換 ,于是由二項(xiàng)式定理得 mmnknnkknnkkknnknn mnnknknA ??????????????????????????????????????? ?????? ?? ?????? ??100 )()(. 例 5 已知矩陣 ,?????????????2020420000210042A ,求 nA . 解 觀察矩陣 A 的特點(diǎn) ,可先將其分塊寫成 ????????? CO OBA,其中 ????????? 21 42B, ????????? 20 42C,則????????? nnn CO OBA ,下面就先求 nB 和 nC . 顯然 1)( ?Br ,即 pqB? ,這里 ????????? 12p, ????????? 21q,且 4?qp ,所以 BB nn 14 ?? . 至于 ???????????????????????? 200 40220 42C, ?????????? 00 40滿足 OP?2 ,代入上述給出的二 次項(xiàng)式公式 ?????? ?????????????? ???nnnnnnnnn nnnPC20 24222)2()2()2(111. 因此本題得解 ?????????????????? ???nnnnnnnA2020242000042000442111. 歸納法 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 11 頁(yè) 共 24 頁(yè) 例 6 已知???????????100101???A ,求其 n 次冪 . 解 先來(lái)計(jì)算 A 的較低次冪 2A 和 3A ,由矩陣乘法直接計(jì)算得 ?????????? ??100210221 22 ????A ,?????????? ??1003103331 23 ????A ,?? 由此猜想?????????????? ???100102)1(1 2????nnnnnA n . 以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 . （ 1）當(dāng) 1?n 時(shí)成立 . （ 2）歸納假設(shè)結(jié)論對(duì) kn? 時(shí)亦成立 ,即 ?????????????? ???100102)1(1 2????kkkkkA k . 所以當(dāng) 1??kn 時(shí) , AAA kk ??1 ,而 ?????????????????????????????????????????????? ???100)110)1(2 )1()11100101100102)1(1 22???????????kkkkkkkkkkAA k , 即當(dāng) 1??kn 時(shí)成立 ,從而證明結(jié)論成立 .即?????????????? ???100102)1(1 2????kkkkkA k . 利用相似變換法 要點(diǎn) 若已知矩陣可以經(jīng)過(guò)相似變換化為對(duì)角陣時(shí) ,即存在可逆矩陣 ? ,使 ??????1 ,其中楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 12 頁(yè) 共 24 頁(yè) ? 為對(duì)角陣 ,其對(duì)角線上元素為矩陣 ?