【正文】 ????????nATT????211 定理 1 若數(shù)域 P 上的 n 階方陣 A 的特征多項式 )(?f 在 P 內(nèi)有 n 個單根 ,則 A 可通過如下方法對角化 : 設(shè) ? ? ? ?)()()(,)( ????? QBEAAEA nTTT ??? ???? 行初等變換且 )()1 ?B 為上三角形矩陣 ,則有方陣 A 的特征根 i? 即為 )(?B 中主對角線上各個元素乘積的解 。 ?????????????100112001)2 B 問方陣 A 和 B 是否可以化為對角形 ,若可以 ,試求出其對角化后的方陣 . 解 ? ??????????????????10011101011100101)()1???? EA T 楊燦：矩陣及其應用 第 22 頁 共 24 頁 ?????? ?? 第一行與第三行互換????????????????00101010111100111??? ???????? ?? ? 行上乘以第一行再加到第二)1(????????????????0010111020100111???? ???????? ?? 行上乘以第一行再加到第三?????????????????????????0110110201001112 ???????? ?? ? 二行上）乘以第三行再加到第（ 1??????????????????????????01101111010011122????????? ?? ? 三行上）乘以第二行再加到第（ 1?????????????????????????112)1(0011110100111222?????????????????? ?? ? 列上乘以第二列再加到第三)( 2? ?????????????????????????112)1(00111010100111222??????????????????? ?? ??? 列上乘以第一列再加到第三)1( 2 ?? ??????????????????????112)1(0011101010001122 ??????? ?????? ?? 第二行加到第一行上????????????????????????112)1(001110101100122 ????????? ?)()( ?? PD? 由題意知 0)1( 2 ???? ? 01?? , )(12 二重?? ,因為 )( 2?D 中零行數(shù)目 ?1等于 2? 的重數(shù) ,故 A 不可以化為對角形方陣 . )2 ? ????????????????100110010010001021)(???? EA T 2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)（論文） 第 23 頁 共 24 頁 ?????? ?? 第二行與第三行互換??????????????010010100110001021??? ????????? ?? ? 行上乘以第二行再加到第三)1( ????????????????1101001001100010212 ???? ????????? ?? ? 列上乘以第二列再加到第三)1( ? ???????????????110100100010001)1(2212 ???? ???????? ?? ? 列上乘以第一列再加上第三)2( ??????????????1101001000100010212 ??? ???????? ?? 行上乘以第二行再加到第一2??????????????1101001000102020012 ??? ? ?)()( ?? PD? . 由題意知 0)1)(1( 2 ??? ?? ? )(11 二重?? , 12 ??? ,此時 )(1?D 中零行數(shù)等于 ?2 1? 的重數(shù) ,故 B 可以化為對角形方陣 。 1 0 02)()()()]1()2)(1(2[)( ????????? ????????? bbqgqg 以 1?? 代入上式 ,有 1002 12 ??bb ,從而求得 100020201002 2102,3022,2201 ?????? bbb , 于是 ??????? 0122100 bbb . 對于秩為 1的 n階方陣 A有下面定理 定理 1 對于 n 階方陣 A,若 1)( ??rank ,那么 A可分解為一個列向量與一個行向量的乘積39。 Linear equation2020 屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 1 頁 共 24 頁 1 前言 矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念 ,是代數(shù)學的主要研究對象之一 ,也是數(shù)學研究和應用的一個重要工具 .“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的 ,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術(shù)語 .而實際上 ,矩陣在它的課題誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了 . 18 世紀中期 ,數(shù)學家們開始研究二 次曲線和二次曲面的方程簡化問題 ,即二次型的化簡 .在這一問題的研究中 ,數(shù)學家們得到了與后來的矩陣理論密切相關(guān)的許多概念和結(jié)論 .1748 年 ,瑞士數(shù)學家歐拉 (L． Euler,1707— 1783)在將三個變數(shù)的二次型化為標準形時 ,隱含地給出了特征方程的概念 .1773 年 ,法國數(shù)學家拉格朗日 (J． L． Lagrange,1736— 1813)在討論齊次多項式時引入了線性變換 .1801 年德國數(shù)學家高斯 (C． F． Gauss,1777 一 1855)在《算術(shù)研究》中 ,將歐拉與拉格朗日的二次型理論進行了系統(tǒng)的推廣 ,給出了兩個線性變換的 復合 ,而這個復合的新變換其系數(shù)矩陣是原來兩個變換的系數(shù)矩陣的乘積 .另外 ,高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價概念 ,在研究兩個互逆變換的過程中孕育了兩個矩陣的互逆概念 . 在線性方程組的討論中 ,我們看到 ,線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上 ,并且解線性方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程 .除了線性方程組之外 ,還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念 ,并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究 ,甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題 ,歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同 的 .這使矩陣成為數(shù)學中一個極其重要的應用廣泛的概念 ,因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個主要研究對象 ,也是處理高等數(shù)學很多問題的有力工具 .矩陣的秩是一個基本的概念 ,也是矩陣最重要的數(shù)量特征之一 ,它在初等變換下是一個不變量．矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念 ,無論是在線性代數(shù)中 ,還是在解析幾何中 ,甚至在概率論中 ,都有不可忽略的作用． 矩陣方冪在高等代數(shù)題解、矩陣穩(wěn)定性討論及預測、控制等方面有廣泛的應用 ,它的求解原理貫穿于代數(shù)教學過程的始終 ,可以用到矩陣各方面的知識 .其計算量往往較大 ,但方法適當 ,可大 大簡化其計算難度 .本文將給出六種求矩陣方冪地方法 .矩陣方程是矩陣運算的一部分 ,這里我們主要討論如何求解矩陣方程的問題 .掌握簡單的矩陣方程的求法 ,對于求解復雜的矩陣方程有很大幫助 . 2 有關(guān)概念及重要結(jié)論 矩陣的概念 為了便于敘述并考慮以后的應用 ,我們引進矩陣的概念 . 由 mn 個數(shù)排列而成的 m 行（橫的） n 列（縱的）的表??????????????mnmmnnaaaaaaaaa??????212222111211稱為一個 nm?楊燦：矩陣及其應用 第 2 頁 共 24 頁 矩陣 . 定義 1 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣 , 稱為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 , 記作 TA (或 A? ). 即若 ,212222111211???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????則???????????????mnnnmmTaaaaaaaaaA??????212221212111. 矩陣的秩 定義 2 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩 。 The power of matrix。239。 )3 對于每個特征根 i? ,在 )(iP? 中取出與 )(iD? 中零行對應的行向量 ),( 21 imii PPP ? 得 A屬于 i? 的特征向量且都是線性無關(guān)的 . 舉例說明 例 18 ????????????110111110)1 A 。 楊燦：矩陣及其應用 第 20 頁 共 24 頁 )2 對于方陣 A 的每一個特征根 i? ,總有 )(iB? 中零行向量所對應的 )(iQ? 中的行向量 i? 與之對應 . 例 17 設(shè)???????????210131012A ,問方陣 A 是否可以化為對角形 ,若可以 ,求出其對角化后的方陣 . 解 ? ???????????????????100210010131001012)(???? EA T ?????? ?? 第一行與第二行互換?????????????????100210001012010131??? ????????? ?? ? 行上乘以第一行再加到第二)2( ?????????????????????10021002125500101312?????? ?????? ?? 第二行與第三行互換????????????????????02125501002100101312 ?????? ?????????? ?? ?? 行上乘以第二行再加到第三)55( 2 ???????????????????????5521)4)(2)(1(001002100101312 ???????? =? ?)()( ?? QB 由題意知 )4)(2)(1( ??? ??? =0? 11?? , 22?? , 43?? ,此時方陣 A 有 3 個特征單根 ,故方陣 A 可以化為對角形 。 反過來 , 如果 0? 是矩陣 A 的特征多項式在數(shù)域 ? 中的一個根 , 即 00 ??? A? , 那么 齊次線性方程組????????????????????????0)(0)(0)(022111222020112121110nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????????? () 就有非零解 . 這時 ,如果 ),( 00201 nxxx ? 是方程組 ()的一個非零解 , 那么非零解向量 . nnxxx ???? 0202101 ???? ?.滿足 （ ） 式 , 即 0? 是線性變換 AL 的一個特征值 , ? 就是屬于特征值 0? 的一個特征向量． 定理 1 設(shè) AL 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 的一個變換 ,則 P?0? 是 AL 的一個特征值當且僅當0? 是 AL 的特征多項式 )()( ?? AL ff A ? 的一個根 . 定理 2 設(shè) 0? 是線性空間 V 的線性 變換 AL 的一個特征值 ,則集合 楊燦：矩陣及其應用 第 6 頁 共 24 頁 ? ?VLV A ??? ?????? ,00 () 構(gòu)成 V 的一個子空間 .在有限維