【導(dǎo)讀】函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，同時(shí)也是解決實(shí)際問(wèn)題求最值的重要方法。中的重要作用，從而總結(jié)出函數(shù)單調(diào)性所適用的條件，應(yīng)用的范圍等。所以，無(wú)論是從研。究教學(xué)來(lái)講，還是實(shí)際應(yīng)用來(lái)講，研究函數(shù)的單調(diào)性都具有重要理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。函數(shù)單調(diào)性的基本概念···································································1

　　

【正文】 b b b? ? ? ? ? ?求 ba? 的值 解：設(shè) 32( ) 3 5f x x x x? ? ?，有 ( ) 1, ( ) 5f a f b??,因?yàn)? 3 2 3( ) 3 5 ( 1 ) 2( 1 ) 3f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 1 , ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 , ( 1 ) 2 ( 1 ) 2f a a a a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 即 同 理 可 知. 又 3( ) 3 ( 1 ) 2( 1 )f x x x? ? ? ? ?,令 1??xu 即 uuuf 23)1( 3 ???? 為 單調(diào)增函數(shù)且為奇函 數(shù)， 所以 )1(1 ???? ba ，即有 2??ba 。 單調(diào)性 在比較大小方面的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性用于比較大小一般性原則：在同一個(gè)函數(shù) )(xf 中有 21 xx? ，當(dāng)函數(shù) )(xf 在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)時(shí)有 )()( 21 xfxf ? ；當(dāng)函數(shù) )(xf 在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)是時(shí)有 )()( 12 xfxf ? 。 函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用于比較大小的一般做法：首先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴(yán)格單調(diào)的區(qū)間內(nèi)比較大小。 例 1 設(shè) 0, ?ba 且 ba? ，比較 abba baba ? 。 解：因?yàn)?,0,0 ?? ba 所以 ,00 ?? abba baba ， 即有 )l g ()l g ()l g ()l g ()l g ()l g ( abbabbaababa abba ????? )lg)(lg( baba ??? 因?yàn)?ba? ，不妨 設(shè) 0??ba ， xxf lg)( ? 在 (0, )?? 上單調(diào)遞增，則 0)lg) ( lg( ??? baba ，所以 )lg()lg( abba baba ? ，即 abba baba ? 。 函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性 在實(shí)際中的應(yīng)用主要反映在最值（極值）上，如材料優(yōu)化、資源整合、利潤(rùn)最大化、路徑選擇等。 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用 例 1 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣 選取使所用材料最??？ 解： 金屬飲料罐高為 h ，底面半徑為 R ，材料最省即是表面積最小，且表面積是 關(guān)于 R和 h 的二元函數(shù)， 則 S =2Rh? + 22R? .由常數(shù)（定值） 2V R h?? ， 則 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 18 ()SR=2 2R? +VR +VR （ V 為 常數(shù)） 令 ( ) 0SR? ? ,則 ?R 32V?,代 入 2V R h?? ，得2Vh R??，即 2hR? 。 例 2 橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比，并和高的平方成正比，要將直徑為 d 的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，問(wèn)斷面的寬和高應(yīng)該各是多少？ 解 ： 設(shè)斷面的寬和高分別是 x 和 y ，則橫梁的強(qiáng)度 2T kxy? ( 0)k? ，又 2 2 2y d x??， 故求 22( ) ( )f x x d x??(0 )xd?? 的最大值即可 。 由 22( ) 3 0f x d x? ? ? ?,得 x = d33 ， 函數(shù) ()fx在 [0, ]d 上連續(xù)，故必有最大值和最小值，則當(dāng) x 變化時(shí) f? 的變化情況如下表： 表 41 x 0 3(0, )3 d d33 3( , )3 dd d T? + 0 ? ? T 0 遞增 極大值 3932 d 遞減 0 由表可知 maxy = 3()3fd= 3932 d 。 單調(diào)性在生產(chǎn)利潤(rùn) 中的應(yīng)用 例 1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投甲、乙兩種原料 1x 和 2x （單位：噸）分別是它們各自的投入量，則該產(chǎn)品的產(chǎn)出量為 122Q x x??? （單位：噸），其中 0?? ， 0?? 且 1????。兩種原料的價(jià)格分別為 1p 與 2p （單位：萬(wàn)元 / 噸）。試問(wèn)，當(dāng)投入兩種原料的總費(fèi)用為 P（單位：萬(wàn)元）時(shí)，兩種原料各投入多少可以使該產(chǎn)品的產(chǎn)出最大？ 解：由題設(shè)只應(yīng)求函數(shù) 122Q x x??? 在條件 1 1 2 2P p x p x??之下的最大值點(diǎn)，應(yīng)用拉格朗日 乘數(shù)法構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 19 1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) 2 ( )F x x x x p x p x P????? ? ? ?， 為求 12( , , )F x x ? 的駐點(diǎn)，解方程組 1211 2 111 2 21 1 2 2200xxF x x pF x x pF p x p x P????????????? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 由方程1 0xF??，2 0xF??可得 111 2 1 21222ax x x xpp? ? ?????? ，解得 2121pxxp??? . 代入 0F??? 有2 2 2 2p x p x P?? ??，解得1 1Px p??，2 2Px p??。 因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題必有最大產(chǎn)出量，故在兩種原料投入的總費(fèi)用為 P （萬(wàn)元）時(shí)，這兩種原料的投入量為1 1Px p??（噸），2 2Px p??（噸），可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大。 例 2 某公司通過(guò)電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式 做銷(xiāo)售廣告，收入 R 萬(wàn)元與電視廣告費(fèi) x 萬(wàn)元及報(bào)紙廣告費(fèi) y 萬(wàn)元之間的關(guān)系為： 22 1028321415 yxxyyxR ?????? 。 (1)在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略； (2) 若提供的廣告費(fèi)用為總額 1． 5 萬(wàn)元，求相應(yīng)最佳廣告策略。 解： (1)利潤(rùn)函數(shù)為 )(),( yxRyxL ??? 22 1028311315 yxxyyx ?????? 求函數(shù) L 的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： 13 8 4 031 8 20 0L yxxL xyy?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???? 解得 ?x ， ?y 。則 ),( 為 ),( yxL 惟一的駐點(diǎn)。 又由題意 ， ),( yxL 可導(dǎo)且一定存在最大值 ， 故最大值必在這惟一的 駐點(diǎn)處達(dá)到。 所以最大利潤(rùn)為 ),( ?L 萬(wàn)元。 因此 ， 當(dāng)電視廣告費(fèi)與報(bào)紙廣告費(fèi)分別為 萬(wàn)元和 萬(wàn)元時(shí) ， 最大利潤(rùn)為 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 20 萬(wàn)元 ， 此即為最佳廣告策略。 (2)求廣告費(fèi)用為 萬(wàn)元的條件下的最佳廣告策略 ， 即為在約束條件 ??yx 下 ， 求 ),( yxL 的最大值 ． 作拉格朗日函數(shù) ),(),(),( yxyxLyxF ???? )(1028311315 22 ????????? yxyxxyyx ? 求函數(shù) ),( yxF 的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： ?????????????????????。020831,04813??yxyFxyxF 并和條件 ??yx 聯(lián)立 解 得 0?x ， ?y 。這是惟一的駐點(diǎn) ， 又由題意 ),( yxL 一定存在最大值 ， 故 39),0( ?L 萬(wàn)元為最大值。 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用 例 1 如下圖所示，此簡(jiǎn)圖為一常 見(jiàn)的框架梁結(jié)構(gòu)圖。梁上分布有均布荷載，求此梁最大處彎矩？ 圖 解：將圖形簡(jiǎn)化如下 圖 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 21 （ 1）求支座反力 由 0Y?? 和對(duì)稱(chēng)條件知 2ABqlYY?? （ 2）列出剪力方程和彎矩方程：以左端 A 為原點(diǎn)，并將 x 表示在圖上。 ? ? ? ?2 02 2 2A x ql qxM x Y x qx x x l? ? ? ? ? ? ? ? （ 3）依題意得 ? ? )( 2 ????? xxxxM ? ? )( ?????? xxxM 當(dāng) 3?x 時(shí)， 0)( ?? xM ；當(dāng) 3?x 時(shí)， 0)( ?? xM ；當(dāng) 3?x 時(shí)， 0)( ?? xM ； 故 3?x 時(shí)， )(xM 取得最大值， MKNMxM ??? )3(m a x)( ,即彎矩最大處在跨中位置。 單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用 例 1 工廠 A 到鐵路線的垂直距離為 km20 ,垂足為 B ,鐵路線上距離為 km100 處有一原料供應(yīng)站 C ,現(xiàn)要在鐵路 BC 之間某處 D 修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)站，再由車(chē)站 D 向工廠修一條公路，如果已知每千米鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為 5:3 ，那么 D 應(yīng)該建在何處，才能是原料供應(yīng)站 C 運(yùn)貨到 A 所需運(yùn)費(fèi)最?。? 圖 解：設(shè) BD之間的距離為 x km，則有 xCDxAD ???? 10 0,20 22 如果公路費(fèi)用為 kma /元 ，那么鐵路運(yùn)費(fèi)為 kma /53 元 ，故原料供應(yīng)站 C 途徑中轉(zhuǎn)站 D 到工廠 A 所需總費(fèi)用 y 為 )1 0 00(4 0 0)1 0 0(53 2 ?????? xxaxay 求導(dǎo)得 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 22 4 0 05 )4 0 035(4 0 053 222 ????????? x xxax axay 令 0??y ，即得 )400(925 22 ?? xx ,解得 151?x ， 152 ??x （舍去），且 151?x 是函數(shù)定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以 151?x 是函數(shù) y 的極小值點(diǎn)，而且也是函數(shù) y 的最小值。由此可知，車(chē)站 D 建于 BC 之間并且與 B 相距 km15 處時(shí)，運(yùn)費(fèi)最省。 總結(jié) 本文先通過(guò)介紹函數(shù)單 調(diào)性的概念、意義及單調(diào)性的判別方法，進(jìn)而歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的應(yīng)用， 最后結(jié)合實(shí)際生活中的一些問(wèn)題，從而對(duì)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有了深入理解 。 本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于不僅對(duì)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行了分類(lèi)歸納，更深入例舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，像如何做到使材料最省、利潤(rùn)最大，優(yōu)化路徑等。對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，通過(guò)閱讀這篇論文不僅能系統(tǒng)地掌握單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，還能了解單調(diào)性在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，開(kāi)闊視野，增加其對(duì)單調(diào)性的學(xué)習(xí)興趣。展望未來(lái)，隨著相關(guān)理論基礎(chǔ)的不斷充實(shí)，函數(shù)單調(diào)性將會(huì)在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮更大的作用，諸如計(jì)算飛船下落回收時(shí)間，計(jì)算物種成長(zhǎng)繁殖速度問(wèn)題等，這些在目前看 來(lái)尚不能精確掌握的問(wèn)題都會(huì)迎刃而解。 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 23 致謝 彈指一揮間，大學(xué)的學(xué)習(xí)生活即將流逝。在這四年里，幸運(yùn)的讓我遇到了這么多令我受益匪淺的老師、同學(xué)，正是在他們的關(guān)懷幫助下，我才能從懵懂之童 ,成長(zhǎng)到今天 ,才能順利的完成這次的畢業(yè)論文。 首先我要感謝我們的學(xué)校和老師以及我在同一個(gè) 窗檐 下學(xué)習(xí)奮斗的兄弟姐妹，為我提供了良好的教育環(huán)境和良好的學(xué)習(xí)氛圍，使得我能夠?qū)W習(xí)成長(zhǎng)到今天。 更感謝我含辛茹苦的父母親，他們都是農(nóng)民，他們沒(méi)有文化，他們不能給予我榮華富貴，但是他們是我最親愛(ài)的人，他們給予了他們能夠給予我的父愛(ài)母愛(ài) ，給予了我做人的最基本的道理。他們辛勞一生，把希望都寄托在了我的身上，是他們?cè)谖镔|(zhì)上的資助和精神上的鼓勵(lì)，成就了我的今天。 非常感謝我的畢業(yè)設(shè)計(jì)指導(dǎo)老師 —— **老師對(duì)我的畢業(yè)論文進(jìn)行了悉心的指導(dǎo)，并提出了很多的寶貴意見(jiàn)。畢業(yè)論文初期，論文要從零開(kāi)始，是老師們的悉心指導(dǎo)，使我順利完成了論文設(shè)計(jì)。 感謝老師對(duì)我論文的指導(dǎo)，幫我解決了一些疑難問(wèn)題，令我豁然開(kāi)朗、柳暗花明。 再次向所有關(guān)心我、支持我、幫助我的師長(zhǎng)、親人、朋友致以最真的謝意 ！ 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 24 參考文獻(xiàn) [1] 王宜田 .談?wù)剶?shù)學(xué)解題教學(xué)中的一題多用 [J].科技信息 ,2020, (4): 1725. 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