【正文】 畢業(yè)論文初期，論文要從零開始，是老師們的悉心指導(dǎo)，使我順利完成了論文設(shè)計(jì)。 首先我要感謝我們的學(xué)校和老師以及我在同一個(gè) 窗檐 下學(xué)習(xí)奮斗的兄弟姐妹，為我提供了良好的教育環(huán)境和良好的學(xué)習(xí)氛圍，使得我能夠?qū)W習(xí)成長到今天。對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，通過閱讀這篇論文不僅能系統(tǒng)地掌握單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，還能了解單調(diào)性在解決實(shí)際問題中的作用，開闊視野，增加其對(duì)單調(diào)性的學(xué)習(xí)興趣。 單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用 例 1 工廠 A 到鐵路線的垂直距離為 km20 ,垂足為 B ,鐵路線上距離為 km100 處有一原料供應(yīng)站 C ,現(xiàn)要在鐵路 BC 之間某處 D 修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)站，再由車站 D 向工廠修一條公路，如果已知每千米鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為 5:3 ，那么 D 應(yīng)該建在何處，才能是原料供應(yīng)站 C 運(yùn)貨到 A 所需運(yùn)費(fèi)最??？ 圖 解：設(shè) BD之間的距離為 x km，則有 xCDxAD ???? 10 0,20 22 如果公路費(fèi)用為 kma /元 ，那么鐵路運(yùn)費(fèi)為 kma /53 元 ，故原料供應(yīng)站 C 途徑中轉(zhuǎn)站 D 到工廠 A 所需總費(fèi)用 y 為 )1 0 00(4 0 0)1 0 0(53 2 ?????? xxaxay 求導(dǎo)得 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 22 4 0 05 )4 0 035(4 0 053 222 ????????? x xxax axay 令 0??y ，即得 )400(925 22 ?? xx ,解得 151?x ， 152 ??x （舍去），且 151?x 是函數(shù)定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以 151?x 是函數(shù) y 的極小值點(diǎn)，而且也是函數(shù) y 的最小值。這是惟一的駐點(diǎn) ， 又由題意 ),( yxL 一定存在最大值 ， 故 39),0( ?L 萬元為最大值。 所以最大利潤為 ),( ?L 萬元。 (1)在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略； (2) 若提供的廣告費(fèi)用為總額 1． 5 萬元，求相應(yīng)最佳廣告策略。兩種原料的價(jià)格分別為 1p 與 2p （單位：萬元 / 噸）。 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用 例 1 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣 選取使所用材料最?。? 解： 金屬飲料罐高為 h ，底面半徑為 R ，材料最省即是表面積最小，且表面積是 關(guān)于 R和 h 的二元函數(shù)， 則 S =2Rh? + 22R? .由常數(shù)（定值） 2V R h?? ， 則 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 18 ()SR=2 2R? +VR +VR （ V 為 常數(shù)） 令 ( ) 0SR? ? ,則 ?R 32V?,代 入 2V R h?? ，得2Vh R??，即 2hR? 。 函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用于比較大小的一般做法：首先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴(yán)格單調(diào)的區(qū)間內(nèi)比較大小。 解：由 33( 1 ) 2 0 1 3 ( 1 ) 1(1 ) 2 0 1 3 (1 ) 1xxyy? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???，所以 1?x , y?1 都是方程 0120203 ??? tt 的根。 解：設(shè) 2 1( ) 2 , 0 ,16f x x a x x? ? ? ?則有 12 1( ) , ( 0 )16f x a a x x? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?10 4a?? ，所以 2 2 211( ) 2 ( )1 6 1 6f x x a x x a a? ? ? ? ? ? ?在 (0, )x? ?? 上是增函數(shù)， 即 原方程與方程 ()f x x? 同解，即為方程： 2 1( ) 2 =16f x x a x x? ? ?的解 。 例 1 求解方程： 2 2 6 2 0xx? ? ? ? ? 解：令 ( ) 2 2 6 2 ( 2 6 )f x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 16 因?yàn)?()fx為在 [ 2,6]? 上的單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有 ( 2) (6) 0,ff? ? ?即在 [2,6]上只有一個(gè)根。( )f x m? ）， 所以 )(xF? 單調(diào)遞減，故39。( ) ( ) ( ) , 39。 證明 : 令 2( ) s i n c os 1R x x x x x? ? ? ? ? ,則 有 39。 例 1 求證： ln( 1)xx?? 證明：令 ( ) ln( 1)f x x x? ? ?,函數(shù) )(xf 的定義域是 ( 1, )? ?? 。39。39。39。 結(jié)論 1 設(shè) ( ) ( ) ( )R x f x g x??在區(qū)間 ）（ ba, 內(nèi)可導(dǎo)且滿足如下條件： （ 1） 39。 又 42( ) ( 0 ) ( )2 2 1aaf f f aaa?? ? ? ???，因此 ()fx在 ( , )???? 上的最大值為 21 aa?? 。 例 7 設(shè) 0a? ，求 11()11fx x x a??? ? ?的最大值。 若 0)1( ???f ，求 )(xf 在 [－ 2， 2] 上的最大值和最小值 。 首先求出 ( ) 0fx? ? 的解，即求 ()fx的駐點(diǎn)；算出 ()fx在這些點(diǎn)的函數(shù)值；若有不可導(dǎo)點(diǎn)，算出 ()fx在這些點(diǎn)的函數(shù)值；求出 ()fa， ()fb。 函數(shù)的最值 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 13 函 數(shù)極大值和極小值概念是局部性的．如果 0()fx 是函數(shù) ()fx的極值點(diǎn)．那只就 0x 附近的一個(gè)局部范圍來說 , )(0xf 是 ()fx的一個(gè)最大值；如果就 ()fx的整個(gè)定義域來說，)(0xf 不 一定 是最大值。 拉格朗日 數(shù) 乘 法只給出函數(shù)取極值的必要條件 ， 因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討論。 解：因?yàn)? 0182106 222 ?????? zyzyxyx ，所以 02262 ???????? xzzxzyyx 0222206 ?????????? yzzyzyzyx 令0,0zxzy?? ???????????得 30 ,3 10 0xyx y z????? ? ? ??故 3 ,xyzy??? ??將其代入 0182106 222 ?????? zyzyxyx ，可得 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 11 ????????3,3,9zyx 或 933xyz??????????? 由于 02)(222 22222 ?????????? x zzxzx zy 226 2 2 2 2 0z z z z zyzx x y y x x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 02)(222220 22222 ???????????????? y zzyzy zyyzyz 所以 61)3,3,9(22 ???? x zA ，21)3,3,9(2 ?????? yx zB，35)3,3,9(22 ???? y zC， 故 03612 ??? BAC ，又 061??A ，從而點(diǎn) ）（ 3,9 是 ),( yxz 的極小值點(diǎn)，極小值為 3)3,9( ?z 。令 00( , )xxf x y A? ， 00( , )xyf x y B? ， 00( , )yyf x y C? 。 （ 2）求 ()gx的單調(diào)區(qū)間與極值。 當(dāng) ()fx的極小值 a － 10即 a ?(1, )? 時(shí)，它的極大值也大于 0，因此曲線 y = ()fx與 x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在 1( , )3??? 上。()fx， ()fx變化情況如下表： xx (－∞，－ 13 ) － 13 (－ 13 ， 1) 1 (1， +∞ ) 39。 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 9 解： (1) 39。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。 例 1 求證：當(dāng) 20 ???x 時(shí)， xxx 2tansin ?? 。 導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)在單調(diào)性上就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) 0x 的導(dǎo)數(shù) 039。其中當(dāng) 10 ??a 時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，其中當(dāng) 1?a 時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別 指數(shù)函數(shù)的一般解析式 () xfxa? ,其中 0?a 且過點(diǎn)（ 0,1）。在對(duì)這些函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們主要結(jié)合了函數(shù)的圖像來判斷函數(shù)的單調(diào)性。 同理，可證明（ 2）當(dāng) 0( ) 0fx?? ? ，函數(shù) ()fx在 0x 處取得極小值。 （ 1）當(dāng) 0( ) 0fx?? ? ，則函數(shù) ()fx在 0x 處取得極大值； （ 2）當(dāng) 0( ) 0fx?? ? ，則函數(shù) ()fx在 0x 處取得極小值。 例 3 判斷函 數(shù) 2 12 ( 2 s in ) , 0()2 , 0xxfx xx? ? ? ??? ????在 ）（ 0oU? 的單調(diào)性。若點(diǎn) 0x 為 ()fx的極值點(diǎn)，則必有 0( ) 0fx? ? 。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 從而說明了方程 0123 ???xx 在區(qū)間 ? ?1,1? 內(nèi)至少有一個(gè)根 ? 。 定理 2 若函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 )(xf 在 ? ?ba, 上有界。 注意，不是任何函數(shù)都有最大值和最小值。 例 1 求函數(shù) xxf sin1)( ?? 在區(qū)間 ? ??2,0 上 的最大值和最小值。2( ) 3 1 0f x ax? ? ? ?恒成立，則 (1) 當(dāng) 0?a 時(shí)， 39。( ) 0fx? ；若函數(shù) )(xf 是減函數(shù)，則 39。 (4) 導(dǎo)數(shù)理解 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 D 內(nèi)可導(dǎo)，若 39。 解： ?函數(shù) )2( ?? xfy 是偶函數(shù)， ? )2()2( xfxf ??? ， )23()25()21()27( ffff ??? ， 又因?yàn)?)(xf 在 ）（ 2,0 上是增函數(shù)，且 23121 ?? 13( ) (1) ( ),22f f f? ? ?即 75( ) (1) ( )22f f f?? (3) 逆向理解 )(xf 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞增， Dxx ?21, ,且 2121 )()( xxxfxf ??? ； )(xf 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞減， Dxx ?21, ,且 2121 )()( xxxfxf ??? 。 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 2 例 1 證明函數(shù) ]1,01)( 在區(qū)間（xxxf ?? 上是減函數(shù)。 若函數(shù)在這一區(qū)間具有 (嚴(yán)格的 )單調(diào)性 ,則就說函數(shù) ()y f x? 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。它的引入為解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題提