【正文】 ) ( 1 ) , ( 2 ) 0 , ( 2 ) 0 ,3 2 7 2f x f f x f f f? ? ? ? ? ? ? ? ?極 小 極 大? )(xf 在 [－ 2,2]上的最大值為 ,29 最小值為 2750? 。 解 ： 由原式得 ,44)( 23 axaxxxf ???? 所以 .423)( 2 ???? axxxf 由 0)1( ???f 得 21?a ,此時有 43)(),21)(4()( 22 ??????? xxxfxxxf 。 例 6 已知 a 為實數(shù) , ))(4()( 2 axxxf ??? 。最后比較所有這些函數(shù)值，最大者為最大值，最小者為最小值。設(shè) ()fx在 [,]ab 上 連續(xù)，那么 ()fx在 [,]ab 上一定取得最大值M 和最小值 m ， ()fx若 在 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)或只有個別的不可導(dǎo)點，則可以用以下方法求出 M和 m 及相應(yīng)的最大值與最小值。關(guān)于極小值也類似。 解：設(shè)所求平面方程為 )0,0,0(,1 ?????? cbaczbyax 因為平面過點 )1,1,1( ，所以該點坐標滿足此平面方程，即有 1111 ??? cba (1) 設(shè)所求平面與三個坐標平面所圍立體的體積為 V， 則 abcV 61? (2) 原問題化為求目標函數(shù)（ 2）在約束條件（ 1）下的最小值．作拉格朗日函數(shù) )1111(61),( ????? cbaabccbaL ? (3) 求函數(shù) L 的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： 2221 061 061 06bcaacbabc???? ????? ????? ???? 由此方程組和（ 1）解得 a = b = c = 3. 由于最小體積一定存在， 且 函數(shù)有惟一的駐點，故 3abc? ? ? 為所求，即平面3x y z? ? ? 與坐標面在第一卦限所圍物體的體積最小，最小體積為 29361 3m in ???V 。不過在實際問題中 ， 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì) 來判定所求的點是不是極值點。 于是，求函數(shù) ( , )zxy 在條件 ( , )xy? 的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為： （ 1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ),(),(),( yxyxfyxL ??? ?? 其中 ? 為某一常數(shù)； 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 12 （ 2）由方程組 ( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0( , ) 0x x xy y yL f x y x yL f x y x yL x y??????? ? ? ??? ? ??? ??? 解出 x ， y ， z ，其中點 (, )xy 就是所求條件極值的可能的極值點。 類似地，由 61)3,3,9(22 ????????xzA ， 21)3,3,9(2 ????? ???yx zB，35)3,3,9(22 ???? ???y zC 可知 03612 ??? BAC ，又 061???A ，從而點 ）（ 3,9?? 是 ),( yxz 的極大值點，極大值為3)3,9( ????z 。 例 3 設(shè) ),( yxzz? 是由 0182106 222 ?????? zyzyxyx 確定的函數(shù)，求 ),( yxzz? 的極值點和極值。 （ 1）當(dāng) 02 ??BAC 時，函數(shù) ( , )f xy 在 ),( 00 yx 處有極值，且當(dāng) 0?A 時有極小值),( 00 yxf ； 0?A 時有極大值 ),( 00 yxf ； （ 2）當(dāng) 02 ??BAC 時 ，函數(shù) ),( yxf 在 ),( 00 yx 處沒有極值； （ 3）當(dāng) 02 ??BAC 時，函數(shù) ),( yxf 在 ),( 00 yx 處可能有極值，也可能沒有極值。 二元函數(shù)的極值 對于二元函數(shù) ),( yxfz? 在點 ),( 00 yx 的某鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 00( , ) 0xf x y ? ，0),( 00 ?yxfy 。 解：（ 1）∵ ? ? 32f x x bx cx? ? ?，∴ ? ? 232f x x b x c? ? ? ?,從而 3 2 232( ) ( ) ( ) ( 3 2 ) = ( 3 ) ( 2 )g x f x f x x b x c x x b x cx b x c b x c?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即 ()gx是一個奇函數(shù) ,所以 (0) 0g ? 得 0c? ，由奇函數(shù)定義得 3b? ； （ 2） 由（ 1）知 3( ) 6g x x x??從而 2( ) 3 6g x x? ??，令 2( ) 3 6g x x? ??=0， 解得 2x?? ，由 2( ) 3 6 0 , 2 2g x x x x? ? ? ? ? ? ?解 得 或， 2( ) 3 6 0g x x? ? ? ? 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 10 22x? ? ?解 得 。 （ 1）求 b 、 c 的值。 所以，當(dāng) )275,( ????a ∪ (1, )? 時，曲線 y = ()fx與 x 軸僅有一個交點。 結(jié)合 ()fx的單調(diào)性可知： 當(dāng) )(xf 的極大值 5 027 a?? ，即 )275,( ????a 時，它的極小值也小于 0，因此曲線()y f x? 與 x 軸僅有一個交點，它在 (1, )? 上。()fx39。 當(dāng) x 變化時， 39。()fx 23 2 1xx? ? ? ， 若 39。 (2)當(dāng) a 在什么范圍內(nèi)取值時 ,曲線 xxfy 與)(? 軸僅有一個交點。極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。函數(shù) )(xf 在點 0x 的某領(lǐng)域 )(0xU 內(nèi)對一切 )( 0xUx? 有 )()( 0 xfxf ? ，則稱函數(shù) )(xf 在點 0x 取得極小值， 0x 是極小值點。 證明：令 xxxxf 2ta ns in)( ??? ，則 2s e cc o s)( 2 ???? xxxf ，則 23( ) 2 se c ta n sin sin ( 2 se c 1 ) 0f x x x x x x?? ? ? ? ? ? 故 )(xf? 在 ）（ 2,0? 上單調(diào)遞增， 從而當(dāng) 20 ???x 時， 0)0()( ???? fxf ，于是 )(xf 在 ）（ 2,0? 上單調(diào)遞增， 0)0()( ?? fxf ，即 xxx 2tansin ?? 。也就是說若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)增加，若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減小。( )fx在幾何上表示曲線 ()y f x? 在點 00M( , ( ))x f x 處的切線的斜率，即 039。( ) l im l imxx f x x f xyfx xx? ? ? ? ? ? ??????。當(dāng) 10 ??a時 ,a 的值越小函數(shù)值下降越快；當(dāng) 1?a 時 ,a 的值越大函數(shù)值增加越快。 對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別 對數(shù)函數(shù)的一般解析式 ? ? logaf x x? ,其中 0?a 且過點 ? ?1,0 。其中當(dāng) 10 ??a 時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù) ,其中當(dāng) 1?a 時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。其中當(dāng) 0?a 時，拋物線開口向上，當(dāng)拋物線在 2bx a?? 時，函數(shù)有最小值 2= 4byc a? ，即在 ( , ]2ba??? 上為單調(diào)遞減函數(shù)；其中當(dāng) 0?a 時，拋物線開口向上，當(dāng)拋物線在 2bx a?? 時，函數(shù)有最大值2= 4byc a? ，即在 [ , )2ba? ?? 上為單調(diào)遞增函數(shù)。 一次函數(shù)單調(diào)性的判別 一次函數(shù)的解析式： ()f x ax b?? 當(dāng) 0?a 時，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是上升的： 當(dāng) 0?a 時，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是下降的； 當(dāng) 0?a 時，一次函數(shù)變成為常數(shù)，不討論單調(diào)性。 函數(shù)單調(diào)性的判別 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別 在最初對函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等。 例 4 設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 xyy ??? 2 所確定，且 ? ? 00 ??xy 。由極值的定義可知，函數(shù) ()fx在 0x 處取得極大值。 證明：在情形（ 1），由于 0( ) 0fx?? ? ，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 0000( ) ( )( ) li m 0xxf x f xfx xx?????? ??? 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性，存在 0x 的某個去心鄰域 ）（ ?。0xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0( ) 0fx? ? ，0( ) 0fx?? ? 。 解：函數(shù) ()fx ,2)0(0 ?? fx 處取得極大值在 ）內(nèi)（但在 00U? 11( ) 2 ( 2 sin ) c o sf x x xx? ? ? ? ? 有正有負， 的左右兩側(cè)都不單調(diào)在從而 0)( ?xxf 。 （ 1） 若 00( , )x x x??? 時， 0?? ）（ xf ，當(dāng) 00( , )x x x ???時 0)( ?? xf ，則 ()fx在點 0x 取安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 6 得極小值； （ 2） 若 00( , )x x x??? 時， 0)( ?? xf ，當(dāng) 00( , )x x x ???時 0?? ）（ xf ，則 ()fx在 0x 處取得極大值。 定理 6（極值的第一充分條件） 設(shè) ()fx在 0x 點處連續(xù)，在某領(lǐng)域 0 0( 。 定理 5（費馬定理） 設(shè)函數(shù) ()fx在點 0x 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點 0x 可導(dǎo)。 函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的，如果 0()fx 是函數(shù) ()fx的極值點，那只就 0x 附近的一個局部范圍來說 ， 設(shè)函數(shù) ()fx在 0x 附近有定義，如果對 0x 附近的所有的點，都有()fx? 0()fx 則 0()fx 是函數(shù) ()fx的一個極大值；如果對 0x 附近的所有的點，都有()fx? 0()fx ，則 0()fx 是函數(shù) ()fx的一個極小值 , 對應(yīng)的極值點就是 （ 0x ， 0()fx ）。 極值的判定定理 若函 數(shù) ()fx在點 0x 的某鄰域 )(0xU 內(nèi)對一切 ?x )(0xU 有 )()( 0 xfxf ? ）（ )()( 0 xfxf ? ，則稱函數(shù) ()fx在點 0x 取得 極大（?。┲担Q點 0x 為極大（?。┲迭c。 介值性定理 定理 4 設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且 )()( bfaf ? ，若 181。 證明：設(shè) 1)( 23 ??? xxxf ，則 )(xf 在閉區(qū)間 ? ?1,1