【正文】 211212 (1 2 )2xx xxxx??? 210xx??， 120xx? ， 121 2 0xx?? ∴ 12( ) ( )f x f x? 0，即 12( ) ( )f x f x? ∴ ()fx在 ? ?1,x? ?? 上是增函 數(shù) ， ∴ ()fx的最小值 為 7(1) 2f ? ． 換元 法 換元 法是一種 應(yīng) 用非常 廣泛 的方法，主要有三角 換元 和代 數(shù)換元 ，它在多 種類 型 問(wèn)題的 求解中都很有用，用 換元 法求函 數(shù)最 值，就是根據(jù)函 數(shù) 表 達(dá)式 的特 點(diǎn) ，把某一部分看作一 個(gè) 整體或用一 個(gè) 新 變 元 來(lái) 代替 ，達(dá) 到化繁 難為簡(jiǎn) 易，化陌生 為熟悉， 從 而 使原問(wèn)題 得解。有以下 關(guān) 系： ()f x a? 恒成立 min ()f x a?? ()f x a? 恒成立 max ()f x a?? 函 數(shù) 的 單調(diào)性是 研究函 數(shù) 的值域與最值的 問(wèn)題的 重要方法。 ．函 數(shù) 的 單調(diào)性 法 對(duì) 于 單調(diào) 函 數(shù) ，最大（?。┲党?現(xiàn) 在定 義 域的 邊 界 處 （ 對(duì) 于 非單調(diào) 函 數(shù) ，通常借助 圖 像求解更方便）。 例：已知 0xy??且 1xy? ，求 22xyxy??的最小值及此 時(shí) 的 ,xy的值。 ,ab是正 數(shù) ，那么 2ab ab? ? ， 當(dāng) 且 僅當(dāng) ab? 時(shí) ，等 號(hào) 成立 公式： ① 222( ) ( , )22a b a bab a b R??? ? ? ② 22 ( 0 , 0 )22a b a ba b a b??? ? ? ? 另外 對(duì) 公式 2ab ab? ? 還 有如下 擴(kuò) 展： 設(shè) 12,aa， … ， na 是 n 個(gè)正數(shù) ， 則 有 1212n n na a a a a an? ? ???? ? ???， 其中等 號(hào)成立的 條 件是 12 na a a? ????? ，由此可得 結(jié)論 ：若 這 n 個(gè)正數(shù) 的和 為定 值， 則當(dāng)這 n 個(gè)正數(shù)相 等 時(shí) ，它 們 的 積 取最大值；若 這 n 個(gè)正數(shù) 的 積為定 值， 則當(dāng)這 n 個(gè)正 數(shù)相 等 時(shí) ，它 們 的和取最小值 。 ．不等式法 通 過(guò) 式的 變形 , 將 函 數(shù) 解析式化 為 具有“ 基本不等式” 或“ 均值不等式” 結(jié) 構(gòu)特征 ， 從 而利用基本不等式或均值不等式求最值 ， 利用基本不等式求最值時(shí) ， 一定要 關(guān) 注等 號(hào) 成立的 條 件 。 ∴ 2m ax( ) (2 ) 4 af x f e??? 綜 上所述， 7 當(dāng) 01a??時(shí) , ()fx有最大值 為 24 ae? 當(dāng) 12a??時(shí) ， ()fx有最大值 為 224ea 當(dāng) 2a? 時(shí) , ()fx有最大值 為 ae? 總結(jié)提 示： 對(duì) 含字母系 數(shù) 的函 數(shù) 判 斷單調(diào)性時(shí) ，一定要注意 對(duì) 字母的取值 進(jìn)行 討論 。 當(dāng) 201a??，即 a 2 時(shí) ， ()fx在 ? ?1,2 上是 減 函 數(shù) ， m a x( ) (1) af x f e?? ? 當(dāng) 212a??即 12a??時(shí) ， ()fx在 [1， 2a ]上是增函 數(shù) ，在 [2,2a ]上是 減 函 數(shù) 。()fx的 變 化情 況 如下表： x (? ∞， 0) 0 2(0, )a 2a 2(,a? ∞） 39。( ) 2 ( )ax axf x xe a x e??? ? ? 2( 2 )axe ax x?? ? ? 令 39。 6 例：已知函 數(shù) () axf x xe?? ( 0a? )，求函 數(shù)在 ? ?1,2 上的最大值。利用 導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)最 值的的步 驟 ：（ 1）確定函 數(shù) 的定 義 域（ 2）求出所 給 函 數(shù) 的 導(dǎo)數(shù)（ 3）求出函數(shù)在 定 義 域的的 駐點(diǎn) 即 導(dǎo)數(shù) 等于 0 的根 為駐點(diǎn) （ 4）研究函 數(shù)在駐點(diǎn)左 右附近的函 數(shù) 的 單調(diào)性 求出函 數(shù) 的極 點(diǎn) （ 5） 將 極值 點(diǎn)處 的函 數(shù) 值與定 義 域 閉區(qū)間 端 點(diǎn)處的函 數(shù) 值比 較 大小，得出最 值。 解 ： ∵ A+B+C=π ∴ B+C=π — A ∴ cosA+2cos 2BC? =cosA+2cos 2A?? =cosA+2cos（ 22A?? ） =cosA+2sin 2A =1? sin178。在解 題過(guò) 程中注意 自變 的取值范 圍 。 2．最值的求法 ．配方法 此方法在初中是求最值的最常用的一種方法，主要 運(yùn) 用于二次函 數(shù) 或可 轉(zhuǎn) 化為 二次函 數(shù) 的函 數(shù) ，二次函 數(shù) 2y ax bx c? ? ?（ ..abc為常數(shù) 且 0a? ）其性 質(zhì) 中有： 5 1）若 a?? ， 當(dāng) 2bx a?? 時(shí) ， y 有最小值 2min 4 4ac by a??； 2) 若 a?? ， 當(dāng) 2bx a?? 時(shí) ， y 有最大值 2max 4 4ac by a?? 。 1．最值的概念 ．最大值 一般地， 設(shè) 函 數(shù) ()y f x? 的定 義 域 為 I ，如果存在 實(shí)數(shù)滿 足 M ： ① 對(duì) 于任意 xI? ,都有 ()f x M? ； ② 存在 0xI? ，使得 0()f x M? . 那么 我們就稱 M 是函 數(shù) 的最大值。由于利用中 學(xué)數(shù)學(xué) 的思想方法去解 決 函 數(shù)最 值 問(wèn)題， 涉及 數(shù)學(xué)許 多知 識(shí) 與方法，要求 學(xué) 生要有 扎實(shí) 的 數(shù)學(xué) 基本功及良好的 數(shù)學(xué)思維能 力， 學(xué) 生在解 題時(shí) ，常常出 現(xiàn) 解 題 思路不清楚， 難 以抓住最值 問(wèn)題的本質(zhì) ，不能 給 予恰如其分的分析，有必要 讓學(xué) 生 對(duì) 求函 數(shù) 的最值的方法有 個(gè)總 體的 認(rèn)識(shí) ，以培 養(yǎng)學(xué) 生的 數(shù)學(xué) 解 題 能力和 思維能 力。 functions。通 過(guò)對(duì) 求最值的多種方法的分析、 討論 ， 讓 大家意 識(shí)到部 分最值 問(wèn)題 與 實(shí)際問(wèn)題 密不可分，了解求最值常用的思想方法，能 夠 更好更快掌握求最值的方法。專業(yè)代碼： 070101 學(xué) 號(hào)： 090704010064 貴 州 師 范 大 學(xué)（本 科） 畢 業(yè) 論 文 題 目 ： 函數(shù)最值問(wèn)題常見(jiàn)的求法 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) ： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2 函數(shù)最 值問(wèn)題常見(jiàn)的求法 摘要 ：最值 問(wèn)題 是中 學(xué)數(shù)學(xué) 中一 類綜 合性很 強(qiáng) 的 問(wèn)題， 它涉及的 數(shù)學(xué) 知 識(shí) 、方法、思 想較 多。本文 從 函 數(shù)最 大值和最小值的概念出 發(fā)， 探索了求函 數(shù)最 值諸多方法，并 對(duì) 最值求解 過(guò) 程中需要注意的一些 問(wèn)題進(jìn) 行 說(shuō) 明。 關(guān)鍵詞 :最值；函 數(shù) ；最小值；最大值；解法 Method of