【正文】 are parallel and there is some184。To find the extreme values of f subject to the constraint g(x) = 0: (1) calculate, remembering that it is a function of the n+1 variables and (2) find values of such that (you do not have to explicitly find the corresponding values of ): (3) evaluate f at these points to find the required extrema.Stationary points can be classified as local maxim , local minim or saddle points.A continuous function on a closed bounded set is bounded and achieves its bounds.(2) a local minimum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。 (2) a local minimum if 0det(H1) = fxx and 0det(H)=。(4) a global (or absolute) minimum iffor all points 。(2) a local minimum iffor all points sufficiently close to 。最后，我更要感謝我的父母，感謝他們對(duì)我的養(yǎng)育之恩，更感謝他們對(duì)我學(xué)業(yè)的支持與默默奉獻(xiàn)。感謝母校為我提供的良好學(xué)習(xí)環(huán)境，使我能夠在此專心學(xué)習(xí)，陶冶情操。楊老師嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，使我受益匪淺。四年的求學(xué)生涯在師長(zhǎng)、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際，思緒萬(wàn)千，內(nèi)心充滿了無(wú)限的感激之情。 當(dāng)然，僅僅一個(gè)學(xué)期的論文設(shè)計(jì)，不足之處在所難免，還希望各位老師指正批評(píng)。通過(guò)對(duì)多元函數(shù)條件極值的各種解法及應(yīng)用的介紹，我們知道對(duì)于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，針對(duì)不同的題目要求，我們應(yīng)該選擇一種既簡(jiǎn)便易行又節(jié)省時(shí)間的方法，其中拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法。同樣在函數(shù)極值的應(yīng)用中我們也可以通過(guò)變換構(gòu)造二次函數(shù)的不等式，并依據(jù)根的存在性對(duì)函數(shù)極值的大小做出相應(yīng)的判定。又，則原點(diǎn)到這個(gè)橢圓的的最長(zhǎng)和最短距離分別為和 二次方程判別式法求極值二次方程判別式法[17]在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在眾多的期刊與學(xué)術(shù)報(bào)告中都提到其的應(yīng)用。解：由例10可知，這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問(wèn)題，有題意可得，設(shè).則曲面在點(diǎn)的法向量為。把這個(gè)向量與作內(nèi)積并令它們?yōu)?，得到個(gè)方程，通過(guò)解該方程組以及個(gè)極值條件，我們就可以得到極值點(diǎn)的坐標(biāo)。 梯度法求極值多元函數(shù)的條件極值也可以利用梯度法[15]求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)（）組限制下的的極值。解：設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方體的體積為，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求方程所給處的目標(biāo)函數(shù)在約束條件下長(zhǎng)方體體積的條件極值，由與，可得解聯(lián)立方程組得方程組的解為由實(shí)際意義及問(wèn)題本身可知其極大值一定存在，也即其最大值，所以點(diǎn)就是原方程的最大極值點(diǎn)。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。應(yīng)用正定判別法：，對(duì)于，有顯然矩陣式正定矩陣，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，其極小值為.同理對(duì)于可得，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，其極大值為.即這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)和最短距離分別為和 Jacobi矩陣法求極值設(shè)方程 (1)在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設(shè)約束方程組為 (2)其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且彼此獨(dú)立.現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標(biāo)函數(shù)在約束方程組(2), 設(shè)拉格朗日函數(shù)則目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是: (3),若目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得條件極值, 則 滿足方程組(3).若方程組(3)有解,將代入(3)的前個(gè)方程的偏導(dǎo)函數(shù)中, 并用、表示點(diǎn)處的各偏導(dǎo)數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組: (4)顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中由此可知方程組(3)的前個(gè)方程的所有解對(duì)應(yīng)的函數(shù)矩陣也滿足. 因此矩陣A的后列元素對(duì)應(yīng)的函數(shù)矩陣是函數(shù)對(duì)于一切自變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨(dú)立性知,故所以, 目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是.將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點(diǎn)處的各偏導(dǎo)數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進(jìn)行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列。記矩陣則有（1）若正定，則在條件下在點(diǎn)取得極小值；（2）若負(fù)定，則在條件下在點(diǎn)取得極大值；（3）若不定，則在條件下在點(diǎn)不取極值。若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則在條件下在點(diǎn)處也取得極值，且同取極大值和極小值。引入函數(shù)式中為待定函數(shù)，把當(dāng)作個(gè)變量和的無(wú)條件函數(shù)，對(duì)這些變量求一階偏導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)所要滿足的方程如下：從上述方程中解得駐點(diǎn)，即可能極值點(diǎn)。乘數(shù)法不僅僅適用于單個(gè)約束條件下的條件極值求解，同樣也可以適用于多個(gè)約束性條件下的函數(shù)極值求解。由問(wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。例9[12] 求表面積為而體積最大的長(zhǎng)方體的體積。 同樣, 如果二次型 是負(fù)定二次型(是負(fù)定矩陣) , 即，則在足夠小時(shí), 有, 在處取極大值.[9] 多元函數(shù)極值的求法 在前面所討論二元函數(shù)極值問(wèn)題的求解方法時(shí)，提到了二元函數(shù)的極值問(wèn)題分為無(wú)條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）.（1）求出函數(shù)的駐點(diǎn)，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 解得方程組的解即為函數(shù)的駐點(diǎn). （2）需要考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（3），計(jì)算在點(diǎn)的矩陣， （4）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而并求出函數(shù)的極值.[10]例7求函數(shù)的極值解：，解方程組：， 解得駐點(diǎn)為又，則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為 代入法求極值在前面的二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經(jīng)提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。（2） 當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí), 函數(shù)在點(diǎn)取得極大值。(3) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒(méi)有極值.在此應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)對(duì)于二元函數(shù),在定義域內(nèi)求極值這是一個(gè)比較適用且常用的方法, 但是這種方法對(duì)三元及更多元的函數(shù)并不適用； (2)時(shí)可能有極值, 也可能沒(méi)有極值，還需另作討論；(3)如果函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)，討論函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮. 根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟如下：（1）解方程組 求出的所有駐點(diǎn)；（2）求出函數(shù)每一個(gè)駐點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)，確定各駐點(diǎn)處A、B、C的值，并根據(jù)的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).（3）最后求出函數(shù)在極值點(diǎn)處的極值. 例4 求函數(shù)的極值解：， 解方程組： 得駐點(diǎn)為：(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).
令 則在點(diǎn)(1,0)處，且 為極小值 在點(diǎn)(1,2)處，不是函數(shù)的極值在點(diǎn)(3,0)處，不是函數(shù)的極值在點(diǎn)(3,2)處，且為極大值 綜上所述，函數(shù)極大值為，極小值為前面所討論的二元函數(shù)極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無(wú)其它限制條件，這類極值我們稱為無(wú)條件極值. 但是在實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，我們常會(huì)遇到除對(duì)函數(shù)的自變量有要求外，還有附加其他條件的的極值問(wèn)題. 這樣我們把對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值. 代入法求極值在約束條件中，如果能解出，即，將它代入中，那么，這就把就二元函數(shù)在約束條件的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值問(wèn)題.[6]例5 求在約束條件的極值解：由約束條件得，將其帶入到中，得 令，解得又，且當(dāng)時(shí)，所以，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為注意：使用代入法時(shí)，減少了函數(shù)變量，在判別極值過(guò)程中帶來(lái)了方便，但是有時(shí)約束條件不容易將表示成的函數(shù)形式（或者表示成的函數(shù)形式）.這樣情況下在求條件極值時(shí)，使用代入法就顯得比較困難,有時(shí)還有可能會(huì)出現(xiàn)遺失可能極值點(diǎn)[7].這樣的情況下，則通常采用乘數(shù)法來(lái)求函數(shù)的極值. 乘數(shù)法求極值設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無(wú)條件極值問(wèn)題.求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 其中為某一常數(shù)。點(diǎn)為的極小值點(diǎn)，極大值為.例2 求函數(shù)的極值解 ：易得的定義域?yàn)椋谏线B續(xù)，有解，得穩(wěn)定點(diǎn)，又 因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)， 由定理2可知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)故函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.例3 求函數(shù)的極值[4]解：，解得是函數(shù)的三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為則，由定理3可知，在時(shí)取得極小值其極小值為：函數(shù)的三階導(dǎo)函數(shù)為則，.由于是奇數(shù)，有定理3可知，在不取極值函數(shù)的四階導(dǎo)函數(shù)為則，是偶數(shù)，有定理3可知，在取極大值綜上所述，可知函數(shù)為極大值為極小值第3章 二元函數(shù)極值的求解方法 二元函數(shù)極值定義定義2設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn), (1)如果,則稱是函數(shù)的極大值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)。第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 一元函數(shù)極值定義定義1設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn)，如果對(duì)該鄰域的所有的點(diǎn),(1)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)。函數(shù)極值涉及的函數(shù)量比較多，尤其是以多元函數(shù)為主，因此我們?cè)谇蠼夂瘮?shù)極值的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到某些形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的極值問(wèn)題，同時(shí)我們?cè)诮忸}的過(guò)程當(dāng)中也常常會(huì)遇到一些具有條件限制的多元函數(shù)極值的求解，在解這種條件極值的問(wèn)題時(shí)我們必須考慮其限制條件，那么對(duì)于我們而