【正文】 n n nnnnu nanu a n aa??? ? ? ? ? ?????? ? ? ????? 所以級數(shù) )1( ?aannk 收斂 , 從而 )1(0lim ???? aannkn. 注意 對某些極限 )(lim nfn ??可將函數(shù) )(nf 作為級數(shù) ???1 )(n nf的一般項 , 只需證明此級數(shù) 收斂 , 便有 0)(lim ??? nfn. 利用黎曼引理求極限 定理 8[1] 若 )(xf 在 ? ?ba, 上可積 , )(xg 是以 T 為周期的函數(shù) , 且在 ? ?T,0 上可積 , 則有 ? ?? ????T baban dxxfxgTdxnxgxf 0 )()(1)()(lim. 例 24 計算 dxxnxn ? ???10 221sinlim . 解 因為 x2sin 的周期為 ? , ??? ??????10 20 210 22 1 1s i n11s i nl im dxxxd xdxx nxn??8?? 2 二元函數(shù)極限的求法 二元函數(shù)極限的定義 定義 5[1] 設(shè) f 為定義在 2DR? 上的二元函數(shù)， 0P 為 D 的一個聚點， A 是一 15 個確定的實數(shù) .若對任給正數(shù) ? ，總存在某正數(shù) ? ，使得當(dāng) ? ?0 0 。L Hospital法則 算不出結(jié)果，不等于極限不存在 .例如sinlim 1cosxxx???? ?? ，就是如此 .這是因為 39。L Hospital 法則之前，務(wù)必考察它是否屬于七種不定型，否則不能用 。 xgxf =A 此定理是對“ 00 ”型而言，對于函數(shù)極限的其他類型，均有類似的法則。 ? 或 ? ）， 則0xlim?x )()(xgxf =0xlim?x )()(39。 (3)若)(x 0lim???x xf(x)=A0, )(x 0lim???x xg(x)=B,則)(x 0lim???x x)()]([ xgxf = BA 例 11： 22lim sin ( )x nn??? ? 解 2 2 2 2s i n ( ) s i n ( )n n n n n? ? ?? ? ? ? 222s in s in 111nn n nn???????????? ??. 由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù)， 原極限 22s in l im s in 12111xn????????? ? ???????. 利用洛必達(dá)法則求極限 洛比達(dá)法則是求“ 00 ”型和“ ?? ”未定式極限的有效方法，但是非 未 定極限卻不能求。 I 目錄 1 一元函數(shù)極限的求法 ............................................................................................... 1 一元函數(shù)極限的定義 ........................................................................................... 1 一元函數(shù)極限求解方法 ....................................................................................... 2 利用定義 求極限 .................................................................................... 2 利用 Cauchy 求極限 ............................................................................. 2 利用單調(diào)有界原理求極限 .................................................................... 3 利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限 ............................ 3 利用極限的運算法則求極限 ................................................................ 4 利用等價代換求極限 ............................................................................ 4 利用初等變形求極限 ............................................................................ 5 利用夾逼性準(zhǔn)則求極限 ........................................................................ 5 利用兩個重要極限求極限 .................................................................... 6 利用變量替換求極限 .......................................................................... 7 利用洛必達(dá)法則求極限 ...................................................................... 8 利用 Toylor 公式求極限 ..................................................................... 9 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 .................................................................... 10 利用微分中值定理求極限 ................................................................ 11 利用積分定義求極限 ........................................................................ 12 利用積分中值定理求極限 ................................................................ 13 利用級數(shù)求極限 ................................................................................ 13 利用黎曼引理求極限 ........................................................................ 14 2 二元函數(shù)極限的求法 ............................................................................................. 14 二元函數(shù)極限的定義 ......................................................................................... 14 二元函數(shù)極限的若干求法 ................................................................................. 16 利用定義求極限 .................................................................................. 16 利用多元函數(shù)的洛必達(dá)法則求極限 .................................................. 16 利用連續(xù)性求極限 .............................................................................. 17 利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限 .................. 18 通過對分式的分子或分母有理化求極限 .......................................... 18 利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限 .......................................................... 18 利用等價無窮小變換求極限 .............................................................. 19 利用變量替換 , 將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限求極限 .. 19 II 利用取對數(shù)法求極限 .......................................................................... 19 用三角變換法求極限 ........................................................................ 20 利用一元函數(shù)中的極限推廣求極限 ................................................ 20 利用無窮小的性質(zhì)求極限 ................................................................ 20 利用 (??? )法求極限 ........