常見函數(shù)極限的求法-文庫吧資料
2025-07-30 17:15本頁面
【正文】 19。若對任給的數(shù)，總存在整數(shù),使得當(dāng)時有則數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列 的極限，并記作或 定義2任給，若在之外數(shù)列中的至多只有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限. 二 求數(shù)列極限的方法 方法一 利用數(shù)列極限定義求極限 方法 要點 要證明,按定義；，當(dāng)時，有，就是要根據(jù)找，一般有三種方法； 1（等價代換法求最小的額），將絕對值不等式作等價代替解不等式，解出然后令，則時，有. 2 （放大法）有時很難解出,只好將表達式簡化、放大,是之成為的新函數(shù)記作；于是，要，只要即可，解不等式，求得于是令，則當(dāng)則時，有. 3（分步法）有時特別復(fù)雜，無法進行放大簡化，只有設(shè)定已足夠大，例如已大過某個數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，可簡化，放大成，即, 于是解不等式，求得,則令當(dāng)時，有.例1 法證明.證明 （放大法），要記此式可改寫成 得（當(dāng)時），至此要，只要，即，故令則時，有. 例2 設(shè)（有限數(shù)），試證： 證 （分步法）當(dāng)為有限數(shù)時，又因，故，時，從而上式注意到已為定數(shù)，因而當(dāng)時，于是令則時， 擬合法 要點 為了證明，,有時雖然不能簡化,反倒是可以把復(fù)雜化,寫成與相類似的形式,這種方法稱為擬合法. 例3 設(shè)時,試證證 注意到，所以,從而 .若我們能證明分大時,則（1）式有端(2)式,亦即要證明事實上,因為（當(dāng)）,因此當(dāng)時有于是,令則時, 從而按式有式成立. 方法二 用Cauchy準(zhǔn)則求極限 Cauchy準(zhǔn)則 數(shù)列收斂時,有Cauchy準(zhǔn)則的優(yōu)點是沒有必要事先知道極限的猜測值例4 設(shè)試證收斂.證明 因收斂,獲證.方法三 利用單調(diào)有界原理求極限單調(diào)有界原理:設(shè)數(shù)列遞增有上界,則存在且有,或設(shè)數(shù)列遞減有下界則存在且有 例5 證明數(shù)列單調(diào)遞減有
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