【正文】 2+x242。xx174。165。g(x)例12 求極限lim242。[a,b], 使得242。f(x)dx=f(x)(ba)。01ex(tanxx) 利用積分中值定理求極限積分中值定理：設f(x)在[a,b]上連續(xù), 則$x206。0sinxxcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanxex=ex(tanxx)，x在tanx與x之間，且sinxxcosx=cosx(tanxx).ex=lim=： 原式=limx174。0x174。0f(b(x))f(a(x))=limf[a(x)+q(b(x)a(x))]=f(a0)，x174。0x174。本題中很明顯，分母是2階無窮小量，因此，需將函數(shù)1ex展開到2階泰勒公式帶皮亞諾余項。：首先要求掌握復合函數(shù)的泰勒展式，注意先展里層函數(shù)，再展外層函數(shù)。這是一種非常有效的方法，它實際上已包含了洛必達法則的求解方法，0利用泰勒公式求“ ” 型極限是一種重要而有效的方法, 因為有些此類不0定式運用洛必達法則需要連續(xù)幾次求導, 但用此法較為方便。162。(a,b), 有f(x)=f(x0)+f162。(x0)= 利用泰勒公式求極限如果函數(shù)f(x)在含x0的某個開區(qū)間(a,b)內具有直到n+1階導數(shù), 即f206。0f(x0+5h)f(x0)h=limh174。(x0)，此方hlimh174。(x0)=3，求極限：h174。0)= 利用導數(shù)的定義求解利用導數(shù)的定義求極限，一般可得lim法要求熟練掌握導數(shù)的定義及性質。0時，1+2tan2x~2x2，xln(1x)~lim(1+2tanx)2x174。1112xn⑸ln(1+x)~x，⑹1cosx~x，⑺arctanx~x，⑻1+x1~2n例8 求極限lim1+2tanxx174。=x如：當x174。)=A，則lim(1+a)b=lim(1+a162。b162。a162。,b,b162。所以limln2(7x6)=f(1)=ln2(76)=174。7248。247。解：因為f(x)=ln2(7x6)是初等函數(shù)，在定義域231。1230。ax174。ax174。192。165。則limf(xn)=f(limxn)=f(a)及l(fā)imf(x)=f(limx)=f(a)。alimxn=an174。常見有以下幾種形式：(1)設f(x)在x=a處連續(xù)，若x174。 利用函數(shù)的連續(xù)性質求解若f(x)在x0連續(xù)，則知limf(x)=f(x0)，即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸x174。psinxcosx(sinx)()39。px174。0型，故可直接使用01+cos3x1+cos3x3cos2x(sinx)=lim=lim解： lim 39。0，sinx174。psinx分析：當x174。=eln165。0=eln165。ln1=e=e0ln0=eln11165。=eln1165。165。1165。165。12247。2=165。 ②165。165。1165。0=.11165。（1）165。型，后四種未定式能化成前兩種基本型型和型0165。型，165。00165。型，165。合，以減少求導的次數(shù)。=172。lim234。2x249。239。236。因子，令m(x)=sin2xsin22解：原式=lim(12sin)x172。1,x174。例5 求lim(cosx)x172。0xx232。x174。=limx174。limx=10=：原式=lim231。sinx2246。0，故所求極限是“0”型，且不能0消去零因子，現(xiàn)在我們利用第一個重要極限求解。0x 5 分析：先判斷類型，當x174。m(x)248。x248。165。165。1+247。1+247。1246。1246。0Ⅱ第二個重要極限：lim(1+x)=e；其變形為：lim(1+m(x))m(x)174。0m(x)x174。=1.247。x+11x2+2++246。231。+2x174。=1，于是由兩邊夾準則知：230。=lim11+1x2x174。=1，limxx+12x174。=lim11+1xx174。xx+12而limxx+x2x174。證明：利用放縮思想，容易看出xx+x2163。232。231。222x174。=1 +++例3 證明lim231。1246。x0x174。)g(，x)且limh(x)=limg(x)=A，則limf(x)=174。給出夾逼定理：若函數(shù)f(x)滿足h(x)163。0xx174。01+tanx+1+sinxx174。解：原式=lim1+tanx(1+sinx)x(1cosx)1+tanx+1+sinxx174。0的過程中，x185。0時，分母x(1cosx)174。例2 求lim1+tanx1+(1cosx)x174。 利用恒等變形和極限運算法則求極限恒等變形通常是利用提取出因式約簡分式, 分子或分母有理化及三角函數(shù)變換等。1時的極限存在或x212e約不存在與它有沒有定義并無關系。x0就是解不等式的過程。x21= 證明limx174。對求于函數(shù)極限問題，從不同的角度思考，從不同角度分析，能得出各種不同的方法。x0y174。y0x174。Eyx206。y0x174。x0后對y174。y0y206。x0x206。x0x206。Ey,y185。R , x0是Ex的聚點, y0是Ey的聚點, 二元函數(shù)f在集合D=Ex180。D limf(P)=A（1）當P,P0分別用坐標(x,y),(x0,y0)表示時, 在不產(chǎn)生誤解時, (1)式也常寫作：(x,y)174。P0時, 以A為極限, 記作：P174。d)199。若對任意的正數(shù)e0, 總存在某正數(shù)d, 使得當P206。()()定義3 設f為定義在D205。x0和f(x)174。+f(x)174。247。232。xlim174。f(x)=247。0230。xlim+174。e0,$d0，使得x,當0xx0d時,總有f(x)A(x0,d)（或U0(x0,d)）內有定義,A為定數(shù), 若定義2 設函數(shù)f(x)在U+對任給的e0, 存在正數(shù)d, 使得當x0xx0+d（或x0dxx0）時有+f(x)Ae, 則稱數(shù)A為函數(shù)f(x)當x趨于x0（或x0）時的右(左) 記作: f(x)+=A230。: x174。x0), 稱f(x)當x174。定義1 設函數(shù)f(x)在Uo(x0,h)(x0的空心h鄰域)內有定義,A為一個確定的常數(shù), 若對任給的正數(shù)e,總存在某一正數(shù)d, 使得當0xx0d時, 都有f(x)Ae, 記作:limf(x)=A或f(x)174。我們如何在準確理解極限的概念、性質和極限存在條件的基礎上，靈活巧妙的運用各種不同的方法解決有關極限的實際問題。因此，掌握好極限的求解方法是學習數(shù)學分析和微積分學的關鍵一環(huán)。極限理論又是研究連續(xù)，導數(shù)，積分，級數(shù)等的基本工具，是微積分的理論基礎。參 考 文 獻[1] : 山東科學技術出版社, 1999 [2] 數(shù)學考研考點精講方法精練 西安交大出版社，2011 [3] 數(shù)學分析全程輔導及習題精講 中國水利水電出版社，2011 [4] 高等數(shù)學輔導 國家行政學院出版社，2008 [5] 高等數(shù)學教學輔導書 高等教育出版社，2010 [6] 高等數(shù)學學習指導 北京郵電大學出版社，2011 [7] 大學生數(shù)學競賽習題精講 清華大學出版社，2010第三篇：函數(shù)極限的求法(正文)目錄..........................................................1 ................................................1 ...........................................3 利用函數(shù)極限定義求極限..................................3 利用恒等變形和極限運算法則求極限........................4 利用迫斂性求極限........................................4 利用兩個重要極限及其推導公式求函數(shù)極限..................5 利用洛必達法則求解......................................6 利用函數(shù)的連續(xù)性質求解..................................7 利用等價無窮小量代換求解................................8 利用導數(shù)的定義求解......................................8 利用泰勒公式求極限......................................9 利用微分中值定理求極限................................10 利用積分中值定理求極限................................10 利用瑕積分的極限等式求極限............................11 ....................................11 利用二元函數(shù)的連續(xù)性求解...............................12 利用極限的運算法則求解.................................12 利用不等式，使用夾逼法則求解...........................12 變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)的極限求解.........13 利用恒等變形法求解.....................................13 利用兩個重要極限求解...................................14 利用等價無窮小代換求解.................................15 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結論求解.......16 利用二重積分來計算二元函數(shù)的極限.......................16 利用極坐標變換求解....................................17 利用二元函數(shù)的泰勒展式求解............................17 ........................................................18 致謝...........................................................18 參考文獻.......................................................20函數(shù)極限的求法極限描述了數(shù)列和函數(shù)在無限變化中的一種趨勢，它體現(xiàn)了從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的數(shù)學思想。通過大一對極限的學習，我們對極限學習中所存在的不知如何求解極限的問題做出了相關方法的總結和進一步分析。0y174。(0,0)時，r174。1故22x+yx+y22163。0y174。0+.238。(0,0), 二元函數(shù)極限f(x,y), 用變量變236。y174。a1xyx2)x+y[ln(1+]x(x+y)y1=lim(1+x174。165。165。y174。,lim(1+x174。a時, 令xy=t, 則 t174。165。a1xyx2)x+y(a185。165。165。a（a185。165。0y174。0y174。0時, x3+y3174。0sin(x+y)x+: 當x174。02(1+4x)(1+6y)+122+24xy222222)(2x+3y)((1+4x)(1+6y)+1)=1+0=13． 利用等價無窮小來代換 例 求 limx174。0(2x2+3y2)((1+4x)(1+6y)+1)22=lim(x174。0(1+4x)(1+6y)12x+3ylim2222 解：原式=(1+4x)(1+6y)12x174。, 想辦法約去零因式（或無窮大因式）例 求limx174。3=3得證y174。+165。, 證明某極限為某數(shù)A或不存在．例 證明極限limx174。(0,0)limxy2222x+y=lim+rcosqsinq=174。0+, x+y=rcosqsinq,2222因為|cosqsinq|163。y=rsinq2當（x,y)174。(0,0)limxy2222x+y=：令237。x022的定義得236。|x|,2e0, 取d=e0，()+1y222當xd, yd, 且(x,y)185。2111+x20dx=p8 二、二元函數(shù)極限求解方法二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別．在極限運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限變得更加復雜, 它實質上是包含任意方向的逼近過程, 是一個較為復雜的極限, 對于二元函數(shù)f(x,y)的二重極限, 其重點是研究極限的存在性以及具體的求解方法．引例 求limxy2222(x,y)174。1sin2nx201+xdx=1p242。165。242。f(x) 計算limn174。baf(x)g(nx)dx=11T242。+165。249。230。230。x174。232。x2+231。231。0 解: 利用冪級數(shù)的展開式, 可得xx3 原式=lim3!+x55!x77!+x+x3x33x55+x77x174。1x01+xdx=利用級數(shù)展開式求極限，從已知的展開式出發(fā), 通過變